已知圆C:x²+y²+2x-4y+1=0 若圆C的切线在X、Y轴上的截距相等,求切线的方程

Question

已知圆C:x²+y²+2x-4y+1=0 若圆C的切线在X、Y轴上的截距相等,求切线的方程
画了四种，但具体怎么做啊 如何证明？

Answer 1

分两种情况，
一、切线在 x、y 轴上的截距相等，且不为 0 。
设切线在 x、y 轴上截距为 m(m≠) ，则切线方程为 x+y-m=0 ，
由于直线与圆相切，因此圆心到直线的距离等于圆的半径，
圆方程配方得 (x+1)^2+(y-2)^2=4 ，因此圆心（-1，2），半径 r=2 ，
所以，由 |-1+2-m|/√2=2 得 m=1-2√2 或 m=1+2√2 ，
二、切线在 x、y 轴上的截距相等，且等于 0 。
这时切线过原点，设切线方程为 Ax+By=0 ，
所以 |-A+2B|/√(A^2+B^2)=2 ，
化简得 3A^2+4AB=0 ，分解得 A(3A+4B)=0 ，
取 A=0，B=1 或 A=4，B= -3 ，得切线方程为 y=0 或 4x-3y=0 。

综上，满足条件的切线方程为 x+y-1+2√2=0 或 x+y-1-2√2=0 或 y=0 或 4x-3y=0 。