如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5

Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为ts（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若三角形BPQ与三角形ABC相似，求t的值
（2）连接AQ，CP，若AQ垂直CP，求t的值
（3）试证明：PQ的中点在三角形ABC的一条中位线上

Answer 1

郭敦顒回答：

（1）当t=1s时，CQ=1s×4 cm/ s=4 cm，BQ=8 cm－4 cm=100px，

BP=1s×4cm/ s=125px，

BA=√（8²+6²ï¼‰=10（cm）

∵BQ/BC=4/8=1/2，BP/BA=5/10=1/2

∴BQ/BC=BP/BA，△BPQ∽△BAC

∴当t=1s时，△BPQ∽△BAC。

（2）CP⊥AQ于K，则

∠CAQ=∠QCK，∠ACK=∠CQK，∠CAQ+∠CQK =∠QCK+∠ACK=90°，

Rt⊿CKQ∽Rt⊿∠AKC∽Rt⊿ACQ，设CK=h，QK= a，AK= b，则AQ= a+ b

CQ=4t，于是

CQ/AC= QK/CK

（a+b）²=36+16t²  （1）

16t²=a（a+b）    ï¼ˆ2）

h²=ab             （3）

4t/6=a/h           （4）

由作图与尝试—逐步逼近法求解上联立方程组得，t=0.9，则

CQ=4×0.9=3.6，BP=5×0.9=4.5，

QK=1.852，AK=5.146，AQ=6.998，CK=3.086，

CQ/AC=3.6/6=0.6，

QK/CK=1.852/3.086=0.6，

∴CQ/AC= QK/CK，符合要求。

∴t=0.9 s。

（3）试证明：PQ的中点在三角形ABC的一条中位线上，

过PQ中点K作EF∥AC，分别交BC。BA于E，F，

作PM∥AC交BC于M，作QN∥AC交BA于N，作QG∥BA交AC于G ，

Rt⊿BMP∽Rt⊿BQN∽Rt⊿BCA，Rt⊿BMP≌Rt⊿QCG，则

BM=CQ=4t，AN=BP=5t，

∵在梯形QNPM中EF是中位线，ME=QE，PF=NF，

∴BE=BM+ME=CQ+QM=CE，BE=CE；

BF=BP+PF=AN+NF=AF，BF=AF，

EF是△ABC的中位线，K在EF上，

∴PQ的中点K在三角形ABC的一条中位线上。

 

      B

 

   

 

 

    M      P

 

 

 

        K

   E                F

 

 

 

    Q                        N

 

 

    C     G                     A  

Answer 2

（1）t=1或；（2）；（3）证明见解析.

试题分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时， ，当△BPQ∽△BCA时， ，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可.
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出 ，代入计算即可.
（3）过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，
证明四边形PDQB是平行四边形，则点M是PQ和BD的中点，进而由得到点E为BC的中点，由得到点F为BA的中点，因此，PQ中点在△ABC的中位线上.
试题解析：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵ ，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴，解得t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴ ，解得.
∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似.
（2）如答图，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP.∴.∴ ，解得：.

（3）如答图，过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，
则，
∵，∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四边形PDQB是平行四边形.∴点M是PQ和BD的中点.
过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，
则，即点E为BC的中点.
同理，点F为BA的中点.
∴PQ中点在△ABC的中位线上.