若实数x,y满足x的平方加y的平方加x乘y等于1,则x+y的最大值是多少? (数学语言不会,只好用语文表达,)

请数学高手帮忙解答,最好用专业数学文字表达出来让我看,我要详细过程!

x^2+y^2+xy=1
也就是
(x+y)^2-xy=1
(x+y)^2-1=xy<=1/4(x+y)^2
所以
3/4(x+y)^2<=1
(x+y)<=2/√3=2√3/3
所以x+y的最大值是2√3/3追问

(x+y)^2-1=xy<=1/4(x+y)^2 这一步看不太明白,我知道要用均值不等式来解,我比较习惯大于等于之类的,能不能再解释下?

追答

(x+y)^2=x^2+y^2+2xy>=2√(x^2y^2)+2xy=4xy
所以xy<=1/4(x+y)^2
所以(x+y)^2-1=xy<=1/4(x+y)^2

追问

为什么(x+y)^2=x^2+y^2+2xy>=2√(x^2y^2)+2xy=4xy?我不懂的地方在最后,为什么等于4xy?

追答

2√(x^2y^2)=2xy,因为√(x^2y^2)=√(xy)^2
所以2√(x^2y^2)+2xy=2xy+2xy=4xy

温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
第1个回答  2012-06-03
设x=a-b,y=a+b,则x+y=2a
xˆ2+yˆ2+xy=(x+y)ˆ2-xy=(a-b+a+b)ˆ2-(a-b)(a+b)=4aˆ2-aˆ2+bˆ2=3aˆ2+bˆ2=1
得3aˆ2+bˆ2=1得3aˆ2=1-bˆ2,
由式子知3aˆ2最大为1,故2a最大为2√3/3也就是x+y的最大值
第2个回答  2012-06-03
令x+y=a
y=a-x
代入x²+y²+xy=1
x²+a²-2ax+x²+ax-x²=1
x²-ax+(a²-1)=0
x是实数则△>=0
a²-4a²+4>=0
a²<=4/3
-2√3/3<=a<=2√3/3
所以x+y最大值是2√3/3
第3个回答  2012-06-03
因为x^2+y^2+xy=1
所以xy为负数
所以x^2=y^2=1
即x=y根号1或正负1
因为xy是负数
所以x和y有一个是负数
所以x+y=0

...则x+y的最大值是多少? (数学语言不会,只好用语文表达,)
所以x+y的最大值是2√3\/3

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