高中数学：指数函数、对数函数、幂函数

Answer 1

高中数学中，三大基本函数——指数函数、对数函数和幂函数，它们在代数和实际问题中扮演着重要角色。

1. 次方根与幂函数定义</
当正偶数时，我们有算术平方根 sqrt[n](x)，如 sqrt(4) = 2，定义为非负实数。对于正奇数，如 sqrt[3](27)，是奇函数。推广到实数范围，非整数指数如 (1/2)^x，存在两个解，通常取正值。

2. 幂函数与指数函数特性</
幂函数 f(x) = x^r 的性质各异，如其奇偶性和增减性。指数函数 y = a^x，定义域和值域都是全体实数，底数不同导致单调性各异，函数图象恒过点 (1,1)。

3. 对数函数：基础与应用</
对数函数 y = log_b(x) 定义为满足 log_b(x) * b = x 的实数。常用对数 log_{10}(x) 和自然对数 ln(x) 在工程中有广泛应用，它们的关系遵循换底公式。对数函数图象过点 (1,0)，在定义域内，当 0 < b < 1 时递减，b > 1 时递增，对称轴为 y = x。

4. 对数运算与解题实例</
例如，计算 (具体计算略)，利用对数换底公式和指数运算性质简化表达。对数函数与幂函数的比较，如例1，通过图象特征和单调性判断选项，如A、C因与坐标轴交点错误，B错误在单调性。

5. 对称性与单调性在解题中的应用</
在函数分析中，利用对称轴排除错误选项，比如例4选B，通过单调性和对称性分析确定范围。处理对称中心和单调性问题，有助于确定不等式范围，如例3和例5。

6. 比较函数值与指数幂的处理</
通过质数对数值的运用，如例1利用方法（1）和（3）求得C，或通过基本不等式和对称性，如例2和例4排除不可能的选项。

7. 复合函数零点与参数求解</
复合函数零点问题涉及内外函数的分析，如例7通过解方程找到实际解和取值范围。在实际问题中，如疫情模型（例1）和冷却模型（例2），可以利用待定系数法求解参数。