请教数学专业高手一道数学分析题

Question

原题是这样的。设f(x)定义在R，是R上的连续函数 且对任意x,y属于R 都满足f((x+y)/2)=[f(x)+f(y)]/2
求证：f(x)=[f(1)-f(o)]x+f(0)............................#

我首先证明了#式对所有有理数成立， 但是证不了对所有有理数成立
但要是有f((x1+x2+...+xn)/n)=[f(x1)+f(x2)+...+f(Xn)]/n .............$ 对所有n>=2 以及任意n个数都成立的话 我就可以证明对所有有理数成立#的
我觉得$式 是成立的 但是我用数学归纳法证不出来。我受书上的启发 ，我看能不能先证明对任意λ属于(o,1)以及任意x,y都有
f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y) 这个要是成立 那么就可以轻易地用数归证明n个数的加权等式 f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+....+λnf(xn) ....*
其中λ1+λ2+λ3+...λn=1
问题是要证明f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y) 因为λx+(1-λ)y是x,y之间的点。。所以我想用闭区间套定理 二分法，凝聚到λx+(1-λ)y这个点 再利用连续性就可以证明f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y) 我这个想法很直观 但我写不出来因为太难表达。另外 我觉得直接用数学归纳法是可以证明$式的、、、而且这个不需要用连续的条件。但是我证明不出来。。。。

因此我的问题就是
(1)在f(x)连续的条件下 如何证明对任意λ属于(o,1)以及任意x,y都有
f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)
(2)不用连续性条件，是否可以证明f((x1+x2+...+xn)/n)=[f(x1)+f(x2)+...+f(Xn)]/n
(3)原题的结论 是否有别的思路去证明 也就是跳开证明(1)或者(2)的
上面有点小口误。那句话改成：
“我首先证明了#式对所有整数成立， 但是证不了对所有有理数成立”

Answer 1

三楼的方法已经足以帮助你完成证明，不过这个问题有很多值得一提的东西，所以我随便给你写点。

(a) 从你的叙述来看，想必你知道如何按照Cauchy提出的方法（自然数->整数->有理数->实数）逐步求g(x)+g(y)=g(x+y)的连续解。
既然如此，首先应该设法将新问题转化到已解决的问题，这里应该先令g(x)=f(x)-f(0)
那么易得g(2x)=g(x)，再得到g(x+y)=g(x)+g(y)。

(b) 对于你的问题(2)，把f转化到g之后就可以直接用归纳法得到你想要的结论，这和三楼的方法本质上一样，只是结论更广泛。

(c) 不要太过拘泥于Cauchy原来的方法，比如说你已经证明了整数集上f(x)的形式，有些时候讨论f(2x)和f(x)的关系要比直接讨论有理数容易得多，在这种情况下只需要证明f(x)在所有二进制有限小数上的性质（即所有m/2^k型的有理数），再结合连续性或单调性仍然可以直接延拓到实轴，没有必要很教条地去讨论有理数。

(d) 你的问题(1)和原问题难度相当，因为完全等价，并且和证明Cauchy方程的连续解必定是线性函数也等价，所以一定是需要某些相对复杂或很有技巧的方法才能实现，我后面会给你一种方法。

(e) 与问题(1)相关的还有两个结论，你可以拿去作为练习
1. R^n上的凸函数必定连续。
2. 若f定义在R^n上，既是凸函数又是凹函数，那么f必定是仿射函数（即f(x)-f(0)是线性函数）。

(f) Cauchy函数方程连续解的求法有很多，事实上只需要“f稍微有那么点比较连续的性质”（比如说任何局部的单调性、可积性、Lebesgue可测性等）就可以证明f是线性函数。
举个例子来说，假定g连续且满足Cauchy函数方程，那么
\int_[x,x+1] g(y) dy = \int_[0,1] g(y) dy + g(x)
所以g(x)可导（因为左端可导）。再对给定的y，对g(x+y)=g(x)+g(y)求导得
g'(x+y)=g'(x)
于是g''(x)=0。
当然还有很多别的方法，你有兴趣自己去看相关文献，不过在此之前先得把数学分析的基础打打扎实。

Answer 2

没有仔细看你的证明，不过可以这样证明：
对任意自然数n，有f(2/n)=2f(1/n)-f(0); f(3/n)=3f(1/n)-2f(0);...
事实上可以用数学归纳法证明对任意自然数m， 有f(m/n)=mf(1/n)-(m-1)f(0)。（证明时对m分奇偶讨论即可）
令m=n，可得f(1/n)=[f(1)-f(0)]/n+f(0)。
于是对任意自然数m,n有f(m/n)=[f(1)-f(0)]m/n+f(0)。
由于任意有理数可以写成既约分数m/n的形式，于是该命题对任意有理数成立。

Answer 3

啊

Answer 4

这个有点难度呢
建议还是不要去思考极端的问题