下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
(4)若｜a｜=b，则a=b；
(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；
(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．
解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．
(3)对．
(4)不对．当a≥0时成立．
(5)不对．当b＞0时成立．
(6)不对．当a＋b＞0时成立．
例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
再根据绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．
于是有
原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)
=｜3+｜3+x｜｜
=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)
=｜-x｜=-x．
解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．
(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；
(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；
(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；
(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．
说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．
例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
(1)当y=2时，x+y=-1；
(2)当y=-2时，x+y=-5．
所以x+y的值为-1或-5．
例6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是
｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ①
或
｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②
由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，
所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．
解 依相反数的意义有
｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．
因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即
由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得
2y=2002， y=1001，
所以
例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们
为三个部分(如图1－2所示)，即
这样我们就可以分类讨论化简了．
原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；
原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；
原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
即
说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
解 有三个分界点：-3，1，-1．
(1)当x≤-3时，
y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
(2)当-3≤x≤-1时，
y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
(3)当-1≤x≤1时，
y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．
(4)当x≥1时，
y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．
综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．
例10 设a＜b＜c＜d，求
｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜
的最小值．
分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：
所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．
例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
故x应满足的条件是
此时
原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4
=7．
练习二
1．x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．
4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．
7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．
几何意义:一个数的绝对值就是这个数在数轴上的位置到原点O的距离.
代数意义:正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是他的相反数；0的绝对值是0。
初一数学主要包括哪些内容
1、正数与负数，有理数。2、有理数的加减法。3、有理数的乘除法。4、有理数的乘方。5、整式（单项式，多项式，常数项）。6、整式的加减。7、从算术到方程。8、解一元一次方程。9、实际问题与原一次方程。10、多次多彩的图形。11、直线，线，线段。12、角。13、相交线。14、平行线及其判定。15...
初一数学有哪些内容
1、第一章有理数：正数和负数、数轴、有理数的大小、有理数的加减、有理数的乘除、有理数的乘方、近似数。2、第二章整式加减：用字母表示数、代数式、整式加减。3、第三章一次方程与方程组：一元一次方程及其解法、二元一次方程组、消元解方程组、用一次方程（组）解决问题。4、第四章直线与角...
初一数学学什么
初一数学学习内容丰富多彩，涵盖整数、分数、小数、代数与几何等基础模块。学生需掌握整数运算，包括加减乘除，深入理解分数化简与加减乘除，以及小数计算技巧。同时，代数式展开与因式分解、方程解法等核心技能也是必修课程。平面图形性质的学习则侧重于培养几何思维，通过数轴、坐标系的运用，增强运算法则的理解...
初一数学学什么
初一数学主要学习内容如下：代数部分：1、有理数、无理数、实数 2、整式、分式、二次根式 3、一元一次方程、一元二次方程、二(三)元一次方程组、二元二次方程组、分式方程、一元一次不等式 4、函数(一次函数、二次函数、反比例函数)5、统计初步 几何部分：1、线段、角 2、相交线、平行线 3、...
初一数学学什么
初一数学主要学习以下内容：代数基础知识 1. 数与式：包括有理数的概念、运算律，整式及其加减等。学生将学习正负数的意义，掌握有理数的运算，了解整式的概念和基本的代数运算规则。2. 方程与不等式：涉及一元一次方程的解法及其应用，不等式的基本性质与解法。学生将通过解方程解决实际问题，并学会如何...
初一数学有哪些知识点
初一数学知识点 一、数与代数 1. 有理数的概念与运算：包括正数、负数、整数、分数的概念及其运算。重点掌握加减乘除的运算法则。2. 整式的概念与运算：涉及单项式、多项式的基本概念和加减乘除的运算规则。3. 一元一次方程与不等式：解一元一次方程的方法，不等式的性质与解法。二、几何图形 1. 图形...
初一数学有哪些内容
初一数学主要内容 一、数与代数 1. 实数：包括有理数和无理数的概念，实数的运算，包括加、减、乘、除以及乘方和开方运算。2. 整式：涉及整式的概念，整式的加减运算，同类项的概念及合并。3. 代数式及其性质：介绍代数式的概念，一元一次方程及解方程的方法。二、几何图形初步认识 1. 线段与角：...
初一必背的数学公式有哪些?
1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 3、tan(A+B)=(tanA+tanB)\/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)\/(1+tanAtanB)倍角公式 1、tan2A=2tanA\/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)\/2ctga 2、cos2a=cos...
初一数学课程有哪些
初一数学课程包括：一、基础知识 1. 数与代数：包括有理数的概念、运算律，简易方程和不等式的解法，以及代数式的初步认识等。2. 几何初步：涉及图形的认识，如点、线、面、角的基本概念，以及简单的几何图形的性质和判定。二、数的运算与概念 在初一数学课程中，学生将进一步学习数的运算，包括整数的...
初一数学知识点是什么
1.1正数和负数 以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数。以前学过的0以外的数叫做正数。数0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1.2.1有理数 正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。...
