已知函数f(x)=0.5ax^2-(2a+1)x+2Inx

Question

已知函数f(x)=0.5ax^2-(2a+1)x+2Inx
（1）求f(x)的单调区间（2）设g(x)=x^2-2x,若任意x1∈（0,2]，均存在x2∈（0,2]，使得f(x1)<g(x2)成立，求a的取值范围。

Answer 1

(1)由题易得f(x)的定义域是x>0。
f'(x)=ax-2a-1+2/x=(ax-1)(x-2)/x
当a<0时，f(x)在(0,2]递增，在(2，+∞)递减；
当a=0时，f'(x)=-(x-2)/x，f(x)在(0,2]递增，在(2，+∞)递减；
当0<a<1/2时,则1/a>2，f'(x)=a(x-1/a)(x-2)/x。f(x)在(0,2]和[1/a，+∞)递增，在(2，1/a)递减；
当a=1/2时，f'(x)=(x-2)^2/2x，f(x)在(0，+∞)递增；
当a>1/2时，则1/a<2，f'(x)=a(x-1/a)(x-2)/x。f(x)在(0,1/a]和（2，+∞)递增，在[1/a，2]递减；,
(2)g(x)=x^2-2x，在x∈（0,2]时，g(x)∈[-1，0]。
要使任意x1∈（0,2]，均存在x2∈（0,2]，使得f(x1)<g(x2)成立。
即要f(x)在(0,2]上的最大值小于g(x)在(0,2]上的最大值0。
由(1)知，当a<=1/2时，f(x)在(0,2]递增，
f(x)在(0,2]上的最大值为f(2)=2ln2-2-2a<0，
得到a的取值范围是(ln2-1，1/2]；
当a>1/2时，f(x)在(0,1/a]递增，在[1/a，2]递减。
f(x)在(0,2]上的最大值为f(1/a)=-2(1+lna)-1/(2a)，因a>1/2时，f(1/a)<0恒成立。
综上得，a的取值范围是(ln2-1，+∞)

追问

即要f(x)在(0,2]上的最大值小于g(x)在(0,2]上的最大值0。
上面这句话不理解。为什么是f(x)最大值要小于g(x)的最大值？不应该是小于g(x)的最小值么？因为f(x)的最大值比g(x)的最小值都小，那么f(x)所有的值都会比g(x)小啊。
正确答案为a>2/e，但是我不知道过程，所以麻烦你再帮下忙。

追答

见图。

这是我所能解释得最详细的了。

答案，我真没精力去验算了，精力有限。

方法思路是没错的，我可以肯定。