数学高手进，关于lnx的不等式都有哪些

Question

比如Inx＜x-1，Inx＞½+三分之一+¼+五分之一……
+x分之一，当x∈正整数时，还有吗
就是像这样的不等式,Inx＜x-1，Inx＞½+三分之一+¼+五分之一……
+x分之一,还有那些？

Answer 1

首先ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n-1) *x^n/n+...。这是函数的幂级数展开式。

平移一下，lnx=(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4+...+(-1)^(n-1) *(x-1)^n/n+...。

所以lnx<x-1，拓展：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+。

令F(X)=f（x）—Inx，即证明函数F(X)在x在（1，e）内，方程F(x)=0有一个解。

对F(x)求导有F'(x)=f‘（x）—1/x,又因为函数f(x)在[1，e]上可导，且0<f‘(x)<1，在(1，e)。

f'(x)≠(1/x)，所以F'(x)>0[1，e]上恒成立，所以F(x)单调递减，又F(1)=f（1）>0,F(e)=f（x）—1<0。

所以存在唯一的一个解是的F(x)=0，即在(1，e)内有且仅有一个x，使f(x)＝lnx。

扩展资料：

数学讲求规律和美学，可是圆周率π和自然对数e那样基本的常量却那么混乱，就如同两个“数学幽灵”。人们找不到π和e的数字变化的规律，可能的原因：例如：人们用的是十进制，古人掰指头数数，因为是十根指头。

所以定下了十进制，而二进制才是宇宙最朴素的进制，也符合阴阳理论，1为阳，0为阴。再例如：人们把π和e与那些规整的数字比较，所以觉得e和π很乱，因此涉及“参照物”的问题。那么，如果把π和e都换算成最朴素的二进制。

并且把π和e这两个混乱的数字相互比较，就会发现一部分数字规律，e的小数部分的前17位与π的小数部分的第5-21位正好是倒序关系，这么长的倒序，或许不是巧合。

参考资料来源：百度百科-自然对数

Answer 2

①首先ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n-1) *x^n/n+...
这是函数的幂级数展开式，（或泰勒展开式，麦克劳林展开。。。）
平移一下，lnx=(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4+...+(-1)^(n-1) *(x-1)^n/n+...
所以lnx<x-1， （证明的话，用你现在学的函数求导，单调性啥的来证）。这些都是大学内容。
一般常见放缩一项的，但难一点的会多留几项，比如好像有一年湖北卷出过ln（1+x）<x-x^2/2...
一题目第一问会给暗示，所以不会特别难，不过这些式子知道下也挺好。。。
拓展：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
②额，这个不等式证明我想你应该会了。。。
顺带说一下，那是有一个极限式，欧拉常数的计算，lim(½+1/3+¼+1/5……+1/n-lnn)=γ≈0.577215

你想知道的不等式，你去看一下大学数学教材，里边很多的，推荐《数学分析》，拉格朗日乘数法对于构造均值不等式讲的蛮多的。。。你也可以去看一下微积分教材，这本比较简单 ，还有函数的幂级数展开式，我想你要问的不等式，看到这些展开式之后，你想放缩几项就放缩几项，会出现各种不等式。。。

Answer 3

建议你截个图片给别人看把，看不懂啊

Answer 4

不明白你要问什么