初三超难代数奥数题

Question

已知p、q都是质数，且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有实数对（p,q).
注：x^2表示x的平方。请各位高手帮帮忙，谢谢了.

Answer 1

令方程的两根分别为A、B，且A为正整数。
由韦达定理，有：A＋B＝8p－10q、且AB＝5pq。
∵A是正整数，p、q都是质数，
∴A只能在下面的数中选取：1、5、p、q、5p、5q、pq、5pq。

一、当A＝1时，B＝5pq，∴1＋5pq＝8p－10q，∴5q（p＋2）－8（p＋2）＝－17，
　　∴（p＋2）（8－5q）＝17。
　　∵p＋2＞2，∴p＋2＝17，得：p＝15＝3×5，与p为质数矛盾，∴这种情况应舍去。

二、当A＝5时，B＝pq，∴5＋pq＝8p－10q，∴p（q－8）＋10（q－8）＝－85，
　　∴（8－q）（p＋10）＝85＝5×17。
　　∵p＋10＞10，∴p＋10＝17，或p＋10＝85。
　　①由p＋10＝17，得：p＝7，此时8－q＝5，得：q＝3。
　　②由p＋10＝85，得：p＝75＝5×15，与p为质数矛盾，∴这种情况应舍去。

三、当A＝p时，B＝5q，∴p＋5q＝8p－10q，∴15q＝7p。
　　∵q的质数，∴q＝7，从而有p＝15＝3×5。与q为质数矛盾，∴这种情况应舍去。

四、当A＝q时，B＝5p，∴q＋5p＝8p－10q，∴11q＝3p。
　　∴p＝11、q＝3。

五、当A＝5p时，B＝q，∴5p＋q＝8p－10q，∴11q＝3p。
　　∴p＝11、q＝3。

六、当A＝5q时，B＝p，∴5q＋p＝8p－10q，∴15q＝7p。
　　∵q的质数，∴q＝7，从而有p＝15＝3×5。与q为质数矛盾，∴这种情况应舍去。

七、当A＝pq时，B＝5，∴pq＋5＝8p－10q，∴p（q－8）＋10（q－8）＝－85，
　　∴（8－q）（p＋10）＝85＝5×17。
　　∵p＋10＞10，∴p＋10＝17，或p＋10＝85。
　　①由p＋10＝17，得：p＝7，此时8－q＝5，得：q＝3。
　　②由p＋10＝85，得：p＝75＝5×15，与p为质数矛盾，∴这种情况应舍去。

八、当A＝5pq时，B＝1，∴5pq＋1＝8p－10q，∴5q（p＋2）－8（p＋2）＝－17，
　　∴（p＋2）（8－5q）＝17。
　　∵p＋2＞2，∴p＋2＝17，得：p＝15＝3×5，与p为质数矛盾，∴这种情况应舍去。

综上各述，得：满足条件的实数对（p，q）有两组，分别是（7，3）、（11，3）。