数学问题：牧人饮马问题。急急急急急急急急急！！！！！！！！！！！！

Question

直线L表示草原上的一条河，在附近有A，B两个村庄，A，B到直线L的距离分别为AC=30km，BD=40km，A，B两个村庄的距离为40km，有一个牧民骑马从A村出发到B村，途中到河边给马饮一次水，如果他上午八点钟出发，以平均每小时30km的速度前进，那么他能不能在上午十点三十分之前到达？（如图所示）

Answer 1

解：作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B，交l于点P，P点即为l上到点A、B距离最短的点，

最短路程为PA+PB=A'B.

过点A'作A'F⊥BD，交BD的延长线与点F，连结A'C、FD.过点A作AE⊥BD于点E.则

DF=A'C=AC=30,∴BF=BD+DF=40+30=70

DE=AC=30km,BE=BD-DE=10km,根据勾股定理，

AF2=AE2=AB2-BE2=402-102=1500，

∴A'B2=BF2+A'F2=702+1500=6400

∴A'B=80(km)

∵30×2.5=75(km)<80(km)

∴他不能在上午10:30之前到达.

Answer 2

F为A在河对岸的投影，即AC=CF=30KM=DE。要让从B到A且饮马，距离最短，则走BF线段，即BO+OA。利用直角三角形BEF，求出BF即可。由BA=40KM,AC=30KM,得出BG=10KM，由勾股定理，得出AG=10√15=EF.在△BEF中，BE=70，EF=10√15，则BF=80KM.从8点到10:30，两个半小时牧民可行进75km，最短距离为80km，所以不能到达。

 

 

 

Answer 3

作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’交直线l于点P
作AE⊥BD于点E，
则DE=AC=30km，BE=40-30=10km，AE2=502-102=2400，B’E=70km，
∴BP+PA=AB’= 根号下702+2400 =10 根号73
又30×2.5=75＜10 根号73
故牧民不能在10点3（0分）之前到达B村

Answer 4

A，B两个村庄的距离为40km，则CD=[40^2-(40-30)^2]^0.5=10√15km
以D为原点建立坐标系，B（0,40），C(10√15,0),A(10√15,30)
假设饮马点为E(x,0),
则总路程为s=(40^2+x^2)^0.5+[(10√15-x)^2+30^2]^0.5=(1600+x^2)^0.5+(2400+x^2-20√15x)^0.5
则当两段路程相等时，总路程最小，
所以1600+x^2=2400+x^2-20√15x，x=(2400-1600)/(20√15)=8√15/3,x^2=320/3
s>=(1600+x^2)^0.5+(2400+x^2-20√15x)^0.5=2(1600+320/3)^0.5=2(5120/3)^0.5=64√15/3km
则牧人需要时间超过(64√15/3)/30=32√15/45>2.75
10:30-08:00=2:30=2.5
所以如果他上午八点钟出发，以平均每小时30km的速度前进，那么他不能在上午十点三十分之前到达

Answer 5

俊狼猎英团队为您解答：
作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’交直线L于点P
作AE⊥BD于点E，
在RTΔABE中：DE=AC=30km，BE=40-30=10km，
AE=√(40^2-10^2)=10√15，
又B’E=70km，
∴牧民走的最短距离为：AB'=√(AE^2+B'E^2)=80km，
牧民花时：80÷30=2又2/3小时=2小时40分，
八时出发，在十时40分到达，不能在十时30分到达。