对异或操作的一些小总结【施工中】

Answer 1

异或操作是一种位运算，它使得两个数或多个数之间相同为0，不同为1。它的基本性质是0异或任何数等于该数自身，同一数自异或等于0。因此，异或偶数次等于没有异或，异或奇数次等于异或一次。在数学上，两个数异或可以看成是统计每一位上1的总数的奇偶性。

异或具有结合律和交换律，即(a^b)^c =a^(b^c) 和 a^b^c = a^c^b。因此，一些数的异或可以以任意顺序进行操作。

异或有多种实际应用。例如，可以使用异或来交换两个数，找出在一个数列中仅出现一次的数字，或者找出两个出现次数为奇数次的数字。具体操作是，将所有数都异或一遍，得出的结果就是那个出现次数为奇数次的数字。同样地，如果存在两个数出现次数是奇数次，其余数都出现偶数次，那么同样地我们可以把所有数都异或一次，得到的数就是那两个数的异或结果。

在解答关于位运算的题目时，通常需要考虑数的二进制位。例如，在 A-Pair_牛客挑战赛62中，要使得 a&b>a^b。一个数比另一个数大体现在二进制里，就是比较两个数的highbit即可，哪个highbit大哪个数就大。结论是，要使a&b的highbit大于a^b的highbit，就是让a,b两数的highbit相同。

欧拉回路和欧拉通路问题中，异或也发挥了重要作用。如果存在欧拉回路，只需将所有结点都异或一次即可得到答案。如果仅存在欧拉通路，那么将起点和终点异或，中间的有效点（度/2为奇数）异或一次就可以。如果都不是，就直接输出Impossible。

异或操作还有很多其他应用，比如解决一些特定问题。在解答关于位运算的题目时，考虑数的二进制位通常会有助于找到解决方案。在具体的编程问题中，异或操作可以用于实现多种功能，如交换变量值、查找唯一出现的数字等。理解异或的基本性质和应用，对于解决相关问题具有重要意义。