定积分求侧面积公式如何推导？

Answer 1

定积分求侧面积公式推导如下：

1、普通函数求面积的推导公式

y=f(x)≥0是普通函数，面积是由f(x),x=a,x=b围成，其中a＜b。在距离x处取微元dx,则该点坐标就是x+dx，记住微元很小，那么上图中x到x+dx的这一段面积可以看作是一个很小的矩形。

求出矩形的面积，dA=f(x)dx.长*宽a到b上曲线与x轴所围成的面积，即∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]dA =∫[a,b]f(x)dx.

2、关于极坐标方程的面积公式推导

面积由r=r(θ)(α≤θ≤β)围成。仍然在距离θ处做微元dθ，微元很小，可以看出dθ所围成的区域是一个扇形，根据扇形面积=1/2弧长*半径，扇形弧长=圆心角*半径

则dA=1/2*r(θ)*dθ.在a到b上的面积

积分A=∫[a,b]dA=∫[α,β]1/2*r(θ)*dθ.

3、推导公式的扩展

面积由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b(a<b)围成，则面积是A=∫[a,b]|f(x)-g(x)|dx.(证明过程和1类似）。面积由r=r1(θ),r=r2(θ),(r1(θ)≤r2(θ),α≤θ≤β)围成，面积是A=∫[a,b]dA=1/2∫[α,β][r2(θ)-r1(θ)]*dθ.(推导过程和2类似）

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。