如何解决这道数学题？

Question

题：如下图所示，P 是 △ABC 内的一个点，使得 △APC 是一个等边三角形。假设 BP = PC 且 ∠PBC = 10°，则找到 ∠ABP。

Answer 1

【计算答案】 ∠ABP=20°

【求解思路】

1、由于 △APC 是一个等边三角形，则根据其性质有每个内角都等于60°，每条边都相等。

2、已知BP=PC，由此得到 △APB 是一个等腰三角形，∠ABP=∠BAP

3、对于△BPC，根据三角形的内角和的性质，有 ∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°

4、根据周角定义，有∠BPC+∠APC+∠APB=360°

5、对于△BPA，根据三角形的内角和的性质，有 ∠PBA+∠PAB+∠APB=180°，由此可以得到∠ABP的值。

【求解过程】

解：由于 △APC 是一个等边三角形，则有

∠APC=∠PCA=∠CAP=60°，AP=PC=CA

已知BP=PC，则 BP=AP，所以 △APB 是一个等腰三角形，∠ABP=∠BAP

对于△BPC，根据三角形的内角和的性质，有 

∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，

∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-2×10°=160°

根据周角定义，有∠BPC+∠APC+∠APB=360°，则有

∠APB=360°-(∠APC+∠BPC)=360°-60°-160°=140°

又根据三角形的内角和的性质，有 ∠ABP+∠BAP+∠APB=180°，所以

∠ABP+∠BAP=180°-∠APB

2∠ABP=180°-140°=40°

∠ABP=20°

【本题知识点】

1、等边三角形。等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

2、等腰三角形。等腰三角形，是指至少有两边相等的三角形。相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

3、三角形内角和定理。三角形内角和为180°。

4、周角。一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角。周角等于360°，是角的一边绕着顶点旋转一周与另一边重合时所形成的角。

Answer 2

等边三角形的内角都是60°。所以，∠APC = 60°。又因为BP = PC，所以∠BPC = ∠PBC = 10°。由此可得，∠BPA = 60° - 10° = 50°。因此，∠ABP = 180° - ∠APB - ∠BPA = 180° - 60° - 50° = 70°。

Answer 3

正确答案是（B）

Answer 4

这题选B 20°