线性代数 向量线性无关问题

Question

A选项

n*m矩阵 设m<=n （也就是说向量个数<维数）
则这m个列向量线性无关的充要条件是r(A)=m
即列满秩矩阵
但是这里是m*n 共有n个列向量
这里只是行满秩 应该是只有m个线性无关的行向量吧

另外C为什么错呢？？

Answer 1

A是对的，因为矩阵的行秩=列秩，这个问题里列秩当然=m，必然有m个线性无关的列向量了 。
矩阵行秩=列秩是因为，初等变换不改变矩阵的秩，然后矩阵可以经初等变换化为标准形，矩阵的秩就是标准形里面1的个数，所以行秩=列秩。
C错了，如果只是经过初等行变换就可以转化的话，而初等变换不改变矩阵的秩，因为Em是满秩矩阵，岂不是说A的前m列是满秩矩阵，不一定会这样。

追问

en
秩当然=m，必然有m个线性无关的列向量了 。
这个是根据 向量组的秩=向量组中线性无关的向量个数 这个定理吗？

我的疑问是 好像用另外一个定理 A就好像不对了 所以我不明白我错在哪里
n*m矩阵 设m<=n
则这m个列向量线性无关的充要条件是r(A)=m
这个定理是针对n行m列的矩阵 然后得到有m个线性无关向量
但是题目中除了第一个条件改为了m*n矩阵

其他条件一样 也能得到“有m个线性无关向量” 这样好像矛盾

Answer 2

A. 由于 r(A)=m, 所以A的列向量组的秩也是m, 即有m个列向量线性无关

C命题是错的, 请看反例:
A =
1 0 0 1
0 0 1 1
仅用初等行变换是化不成 (Em,0)形式的.