因为 存在一个非零矩阵B，使得AB=O
所以 B的列向量都是 AX=0 的解向量
所以AX=0有非零解
所以 |A| = 0.
充分性.
因为 |A| = 0, 所以 AX=0 有非零解 b1,...,bs
令 B=(b1,...,bs)
则有 AB = 0.
A是mxn矩阵,若存在非零的nxs矩阵B,使AB=0证明R(A)<n
证明: 必要性.因为 存在一个非零矩阵B，使得AB=O 所以 B的列向量都是 AX=0 的解向量 所以AX=0有非零解 所以 |A| = 0.充分性.因为 |A| = 0, 所以 AX=0 有非零解 b1,...,bs 令 B=(b1,...,bs)则有 AB = 0.
设A是m*n矩阵,若存在非零的n*s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)<n
证明: 因为 AB = 0 所以 r(A)+r(B)<=n.又因为 B≠0 所以 r(B)>=1 所以 r(A) <= n- r(B) <= n-1 < n 即有 r(A) < n
设A是m*n矩阵,若存在非零的n*s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)<n
因为A是m*n矩阵，则r(A)<=n 假设r(A)=n，则方程AX=0只有零解（因为其解空间的维数=n-r(A)=0）又AB=O，则对于B的每个列向量b，均有Ab=O 即b为方程AX=0的解，故b=O，从而B=O 与条件B非零矛盾，假设不成立，r(A)<n
设A为m×n矩阵,若存在n×s非零矩阵B,使AB=0,证明:r(A)<n.
因为AB＝0,所以r(A)＋r(B)≤n，又因为B为非零矩阵，所以r(B)≥1,故r(A)＜n
A是一个m*n矩阵。证明存在非零矩阵n*s矩阵使AB=0的充要条件是A的秩小于...
【证明】先证 非零矩阵B使得 AB=0 → r（A）＜n 对于齐次线性方程组Ax=0 ，有非零解B，那么 r（A）＜n 再证 r（A）＜n → 非零矩阵B使得 AB=0 对于 齐次线性方程组Ax=0，r（A）＜n，有非零解 列向量 α 令B=（α，0，...，0）n×s ，一定满足AB=0 newmanhero 2015...
...非零的n×m矩阵B使得AB=0的充分必要条件是r(A)<n.
可以用齐次线性方程组有非零解的条件证明。即方程组AX=0有非零解，所以|A|=0；反之：若|A|=0，则AX=0有非零解，则存在非零矩阵B，满足AB=0。
设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A)<n
证明: (=>)因为AB=0, 所以B的列向量都是AX=0的解.又因为B≠0, 所以AX=0有非零解.所以 r(A)<n.(<=)由r(A)<n知AX=0有非零解X 令B=(X,0,...,0).则B≠0且AB=0.
设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A)<n
AX=0的解空间维数是n-r(A)，由r(A)<n知解空间中有非零向量，即非零解。B=(X,0,...,0)中的X就是非零解。
1. A是M x N的矩阵。B是N x S 的矩阵。若r(A)=N 求证:r(AB)=r(B)
即BX1是AX=0的解.由于 r(A)=N, 知 AX=0 只有零解 所以有 BX1=0 即 X1 是BX=0的解.所以 BX=0 与 ABX=0 同解.所以 它们的基础解系所含的向量个数相同 即有 s-r(B) = s-r(AB)所以 r(AB)=r(B).2. 考虑 AB 的转置 B^TA^T 因为 r(B^T)=r(B)=N,由1知 r(B^TA^...
...A为mxn阶矩阵,B为nxs阶矩阵,AB=0,求证r(A)+r(B
Ax=0 x为n维列向量 其解空间的维数为n-r(A)B中的列向量都是Ax=0的解 ∴r(B)<=n-r(A)即r(A)+r(B)<=n
