现代数学方法概论论文

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现代数学方法概论论文
经济数学问题例说自1993年5月高考命题组提请注意数学的应用以后，1995年全国高考文理科试题中又出现了一道关于淡水鱼养殖的市场预测的应用题，这是一道数学应用方面的好题，由于它是经济数学方面的问题，从而在建立社会主义市场经济新体制的今天，格外地引起大家的注目。

　　所谓经济数学问题，就是用数学方法来研究经济学的一些问题，如经济增长率、人口增长率等方面的国民经济问题，银行业务问题，证券市场问题，保险计算问题，消费与市场预测问题，投入产出问题，等等。上述问题中，能用中学生可以接受的初等数学方法解决的一些基础问题都应当引起我们的重视。

　　下面举几个例子。

　　例1：某商品的市场需求量P（万件）?、市场供应量Q与市场价格x（元／件）分别近似地满足下列关系： P＝－x＋70； Q＝2x－20当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量。
　　（1）求平衡价格和平衡需求量；
　　（2）若每件商品征税3元，求新的平衡价格；
　　（3）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？

解：（1）求得平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件。
　　（2）设新的市场平衡价格为x元/件，此即为消费者支付价格，而提供者得到的价格则为（x一3）元/件，依题意得－x＋70＝2（x－3）－20，从而解得新的平衡价格为32元/件。
　　（3）设政府给予t元/件补贴，此时的市场平衡价格亦即消费者支付价格为x元/件，则提供者收到的价格为（x＋t）元/件，依题意得方程组－x＋70＝44
2（x＋t）－20＝44　解之得 x＝26 t＝6

　　例2：某产品日产量为20台，每台价90元，若日产量每增加1台，则单价就要降低3元，问如何设计生产，使日总收入最大？

解：设每日多生产x台，总收入为y元，依题意得 y＝（90－3x）（20＋x）易得当日产量为25台时，总收入最大。

　　例3：某厂今年初贷款100万元，复利计息，年利率为10％（即本年的利息计入次年的本金生息），计算从今年末开始每年偿还固定的金额，恰在第12年末还清，问每年偿还的金额是多少万元？

解：设每年偿还的金额为X万元，依题意得： x＋x（1＋10％）＋x（1＋10％）2＋…＋x（1＋10％）11＝100（1＋10％）12解之得x＝15（万元）
09-12-18 | 添加评论 | 打赏
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hellomydram11
例如：
极限的求法
1. 直接代入法
适用于分子,分母的极限不同时为零或不同时为
例 1. 求 .
分析 由于 ,

所以采用直接代入法.
解 原式=
2.利用极限的四则运算法则来求极限
为叙述方便,我们把自变量的某个变化过程略去不写,用记号表示在某个极限过程中的极限,因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下:
定理 在同一变化过程中,设都存在,则
(1)
(2)
(3)当分母时,有
总的说来,就是函数的和,差,积,商的极限等于函数极限的和,差,积,商.
求.
解
3.无穷小量分出法
适用于分子,分母同时趋于 ,即 型未定式
例3.
分析 所给函数中,分子,分母当 时的极限都不存在,所以不能直接应用法则.注意到当 时,分子,分母同时趋于 ,首先将函数进行初等变形,即分子,分母同除 的最高次幂,可将无穷小量分出来,然后再根据运算法则即可求出极限.
为什么所给函数中,当 时,分子,分母同时趋于 呢 以当 说明:因为 ,但是 趋于 的速度要比 趋于 的速度快,所以 .不要认为 仍是 (因为 有正负之分).
解 原式 (分子,分母同除 )
(运算法则)
(当 时, 都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.)
4. 消去零因子法
适用于分子,分母的极限同时为0,即 型未定式
例4.
分析 所给两个函数中,分子,分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.
解 原式= (因式分解)
= (约分消去零因子 )
= (应用法则)
=
5. 利用无穷小量的性质
例5. 求极限
分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形.
解 原式= (恒等变形)
因为 当 时, , 即 是当 时的无穷小,而 ≤1, 即 是有界函数,由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小,
得 =0.
6. 利用拆项法技巧
例6:
分析:由于=
原式=
7. 变量替换
例7 求极限 .
分析 当 时,分子,分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换.
解 原式 =
= (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.)
= . ( 型,最高次幂在分母上)
8. 分段函数的极限
例8 设 讨论 在点 处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.
解 因为

所以 不存在.
注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 .
注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .
宏志网校 俊杰
1、利用定义求极限。
2、利用柯西准则来求。 柯西准则：要使{xn**有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于 任意的自然数m有|xn-xm|<ε.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。 如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5 =lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5 =1.
4、利用不等式即：夹挤定理。
5、利用变量替换求极限。 例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1) 可令x=y^mn 得：＝n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。 （1）lim sinx/x=1 牐爔->0 (2)lim (1+1/n)^n=e 牐爊->∞ 7、利用单调有界必有极限来求。
8、利用函数连续得性质求极限。
9、用洛必达法则求，这是用得最多的。
10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。
　按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成
　　a1，a2，a3，…，an，…
　　简记为｛an｝，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。
　　从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
　　从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；
　　从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；
　　各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；
　　各项相等的数列叫做常数列。
　　通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
　　数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）为定义域的函数an=f(n)。
　　如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n).
[编辑本段]表示方法
　　如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1
　　如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)
[编辑本段]等差数列
　　【定义】
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
　　【缩写】
　　等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
　　【等差中项】
　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。
　　有关系：A＝（a＋b）/2
　　【通项公式】
　　an=a1+(n-1)d
　　an=Sn-S(n-1) (n>=2)
　　【前n项和】
　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
　　【性质】
　　且任意两项am，an的关系为：
　　an=am+(n-m)d
　　它可以看作等差数列广义的通项公式。
　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
　　am+an=ap+aq
　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
　　和＝（首项＋末项）×项数÷2
　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　　首项=2和÷项数-末项
　　末项=2和÷项数-首项
　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
　　【应用】
　　日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
　　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
　　若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。
[编辑本段]等比数列
　　【定义】
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
　　【缩写】
　　等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
　　【等比中项】
　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
　　有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)
　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
　　【通项公式】
　　an=a1q^(n-1)
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
　　【前n项和】
　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
　　【性质】
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar*2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
　　性质：
　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；
　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
　　【应用】
　　等比数列在生活中也是常常运用的。
　　如：银行有一种支付利息的方式---复利。
　　即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，
　　在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
　　（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
　　（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
　　Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　=(a1-a1q^n)/(1-q)
　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
　　(前提：q不等于 1)
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
[编辑本段]一般数列的通项求法
　　一般有：
　　an=Sn-Sn-1 （n≥2）
　　累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。
　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。
　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
　　特别的：
　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
　　不动点法（常用于分式的通项递推关系）
[编辑本段]特殊数列的通项的写法
　　1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
　　1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
　　2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n
　　1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
　　-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
　　1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
　　1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
　　1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
　　9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1
　　1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9
　　1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2
　　1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
[编辑本段]数列前N项和公式的求法
　　(一)1.等差数列:
　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数
　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
　　2.等差数列前n项和:
　　设等差数列的前n项和为Sn
　　即 Sn=a1+a2+...+an;
　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
　　(二)1.等比数列:
　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
　　则an/am=q^(n-m)
　　(1)an=am*q^(n-m)
　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq
　　2.等比数列前n项和