数学中，很多数字隐含着惊人的信息，向人类传达自然宇宙的奥秘，下面将讨论自然界中13个迷人的数字。
阿列夫零（Aleph Null ℵ_0）
阿列夫零是一个美丽的概念。它是最小的无穷数。我知道你们在想什么，无穷应该只是一个概念，而不是一个具体的数字。毕竟，如果有一个无穷大大于另一个无穷大，第一个肯定不是无穷大。
让我们对无穷大有一个基本的概念（下面会讨论）。阿列夫零是有多少个自然数（0,1,2,3，……）。这个数字是无限的。
如果我们把所有的自然数数两到三遍会怎样？在数完第一遍之后，我们将按顺序得到超出自然数的数字。我们需要数的顺序，也就是序数。阿列夫零的下一个数字是ω，然后是ω + 1，它们不是基数，而是序数，也就是说，它们代表它们相对于横轴的位置。下图是一个简单的表示法。每个集合都可以表示存在的自然数集合，每个集合的势为ℵ_0。在第一个集合之后添加一个不会改变势。
把它们（势）看作序数会有帮助。因此，集合后的第一个序数超限数就是我们在上面讨论过的ω。
有趣的是，ω + 1不一定比ω大，它只是排在后面。这有点难以接受，以下是我们应该知道的：
无穷和阿列夫零是两个不同的东西。前者只是一个位于数字轴上的极端极限概念，而后者只是集合的大小（势）。
是集合的大小，基数表示数量(1，2，459，1002等)；序数表示顺序(第1，第2，第66等)。
正如有无限的基数，也有无限的序数，第一个无限（不可数）序数是我们在上面讨论过的，ω。
按照这个逻辑，阿列夫1是ω的基数。
阿列夫零只是众多“阿列夫”中的第一个。
无穷∞
这更像是一个想法或概念，而不是一个数字。这个符号通常被称为无穷∞。在讨论无穷大的特性和有趣的事实之前，有一件重要的事情是，数字π被认为是无穷大的一种形式。这里我们指的是点3.14159之后的数字范围……这就是为什么无穷大是一个概念，而不是我们能够量化的东西。另一个例子来自于美丽的分形领域。以简单的科赫雪花为例，它可以细分为无穷小的相同形状的雪花。
有趣的是，当我们想到无穷大时，我们想象的是一个不断增长的度量，但它并没有膨胀变大。
让我们来讨论两个与无限相关的简单话题。
0.99999 = 1吗？
很自然地，0.99999有无穷多个9，我们知道它等于1。用代数方法证明它也是可能的：
如果X = 0.9999，那么10 x = 9.9999
如果两边同时减去X，就得到
9x = 9.9999 -0.9999
9 x = 9
两边除以9
得到，X = 1
奇怪，是吧？
∞-∞= 0吗？
任何数字减去自身都是零。但无穷大不是一个数字。因此，让我们尝试一个测试：
假设，∞-∞= 0∞-∞+ 1= 0 + 1 #两边同时加1
∞-∞= 1 #知道∞+ 1 =∞，我们可以化简方程
剩下的是另一个结果。通过这个方法，我们可以得到∞-∞等于我们想要的任何数。因此，∞-∞的答案是没有定义的。
最后，我们还被告诫任何数都不能除以0。老师告诉我们1 / 0 = Undefined。直观地考虑一下，如果0个人除以1个苹果，需要多少人来覆盖整个苹果？自然地，它是一种永不崩溃的无限形式。
原来，1 / 0 =∞。为什么我们被教导结果是没有定义的呢？很简单，当1 除以一个无限小的整数趋于无穷时，很容易假设1 / 0 =∞。这里，无穷是正无穷。如果我们取趋近于0的小负数，我们也可以假设1 / 0 = -∞。那么，到底是哪一个呢？是1 / 0 =∞还是1 / 0 = -∞？答案是没有定义的。
下面是无穷的运算：
i
i指的是虚数。虚数的定义是它的平方是一个负数。我们知道两个相同符号的数字相乘总是会得到正的结果。但这并不能阻止我们创造一个公理，来阻止这些数字的存在。我们称它们为虚的，因为它们不应该存在。-6的平方根是多少？我们不知道。但数学的美妙之处在于，与其他科学工具不同，你可以假设事物存在。
虚数的概念很简单。我们可以假定它们存在。它们有什么作用？我们可以解一些需要负数平方根的方程。这里有一个例子：
根号4是多少？很简单，是2。
根号-4是什么？稍微复杂一点，答案是2i。
我们加上i表示虚数，使2的2次方等于-4。让我们来看看一个通常没有解的简单方程，看看它是如何用虚数解出来的:
显然，x的2次方永远不会得到负数（在我们的例子中是-1），所以我们假设答案乘以i。
就像数字1代表实数。虚数的其他用途是把它们和自然数结合成复数（例如7i + 12）。
古戈尔（Googol）
古戈尔等于1后面跟100个0，即：
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。
或者是：
大约是70!，即70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59 ....x1。
更复杂的是，有一个数字叫做“Googol plex”，它只是“Googol”的10次方，写法为：
有趣的是，谷歌公司是Googol名字的误拼。这个数字主要用于天文研究，如宇宙的大冻结。
数字9
这是我最喜欢的数字，我发现它在视觉和数学上都很漂亮。在几何学中，我们往往会发现它隐藏在很多地方，比如：
圆，它有360度（3 + 6 + 0 = 9）
把圆切成两半，每一半是180度（1 + 8 + 0 = 9）
把圆切成四等份，每个角是90度（9 + 0 = 9）
切成8份，每部分45度（4 + 5 + 0 = 9）
继续，16份，每部分22.5度（2 + 2 + 5 = 9）
继续，32份，每部分为11.25度（1 + 1 + 2 +5 = 9）
一个正方形，内角和是是90 × 4（360 = 3 + 6 + 0 = 9）
下面是图形和它们的角度。
从左上到下：五边形，八边形，十边形。
五边形= 108 = 1 + 0 + 8 = 9 // 72 = 7 + 2 = 9
八边形=135 =1 + 3 + 5 = 9 // 45 = 4 + 5 = 9
十边形= 144 = 1 + 4 + 4 = 9 // 36 = 3 + 6 = 9
同样，如果我们把9前面的数相加（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36）。然后，3 + 6 = 9。
把9和它前面的数字相乘，然后把它们的元素相加，结果总是9，例如：
9 x 1 = 9
9 x 3 = 27 = 2 + 7 = 9
9 x 7 = 63 = 6 + 3 = 9
9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9
这些数字除以9总是得到相同的数字，一直重复到无穷，例如：
1 / 9 = 0.11111
3 / 9 = 0.33333
7 / 9 = 0.77777
数字73
如果你是《生活大爆炸》的粉丝，那么你一定听过谢尔顿·库珀博士说过为什么73是完美的数字，下面是他的原话：
最好的数字是73。为什么？73是第21个质数。它的镜像，37，是第12个质数，是21的的镜像。而21，是7和3的乘积。在二进制中，73是回文“1001001”，倒着也是是1001001。
这些话出自《生活大爆炸》第四季第十集，而这一集恰好是该剧的第73集（也是饰演谢耳朵的男演员吉姆·帕森斯出生的那一年）。
欧拉数
e以莱昂哈德·欧拉的名字命名，是一个无理数，是自然对数的底数。已知欧拉数的精度约为1万亿位。可由以下公式得出：
当n趋于无穷时，我们对e的值有了更清晰的认识，当n = 100,000时，e = 2.71827。e有一个有趣的性质，它的斜率值就是它本身。它也被用于金融计算复利。
斐波那契序列
列奥纳多·斐波那契在观察兔子种群的同时，用简单的加法技术创造了我们宇宙中最迷人的数列之一。现在，一些证据表明，印度数学家事先就知道这个数列，我们坚持被广泛接受的事实，即斐波那契提出了这个数列。
斐波纳契数列可以用下面简单的公式得到（n＞2）：
得到了下面的无穷数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，....
这个数列的美妙之处在于它与自然有关。例如，出现在了开花的朝鲜蓟、一些花瓣如雏菊中。它甚至发生在星系螺旋中。
甚至有一个非常有趣的观察，基于事实表明，地球和月球的尺寸是ϕ的关系，比值是1.618。那么这个1.618是什么呢?
如果我们取序列中的任意两个连续数，它们的比值（Xn / Xn-1）接近于1.618，这就是我们所说的黄金比例：
3 / 2 = 1.5
13 / 8 = 1.666
55 / 34 = 1.61764
233 / 144 = 1.61805
317,811 / 196,418 = 1.61803
在无穷大时，比值接近1.618，也称为Phi （ϕ）。我们将在下面更详细地讨论ϕ。
23
很多人都看过电影《数字23》，金·凯瑞饰演的沃尔特·斯派洛是一个在一本书中读到数字23后对它着迷的人。人们认为这个数字神秘地与世界上许多事件吻合，虽然这可能是一个幻想性错觉的完美例子，但列出一些包含23的事件仍然很有趣：
如果我们把9/11悲剧事件的全部日期写成：9 + 11 + 2 + 0 + 0 + 1 = 23。当然，我们也可以这样：9 + 11 + 2001 = 2021。
根据生日悖论，23是随机选择的最少人数，以获得至少50%的概率，有至少两个人的生日相同。随机选择70个人，至少有两个人生日相同的概率是99.99%。
威廉·莎士比亚生于4月23日，巧合的是，他也死于4月23日。
泰坦尼克号于1912年4月15日沉没。把整个日期加起来就是4 + 1 + 5 + 1 + 9 + 1 + 2 = 23。这里面多多少少有些人为选择的因素。
地球在其轨道平面上倾斜23.5度。我们可以把5看成是2 + 3，让这变得有趣一点。
阿雷西博信息（The Arecibo message）由1679比特组成，排列成73行，每行23个字符。当然，这是人类编造的，但它仍然很有趣。阿雷西博信息是一个从地球向太空发送的信息，以寻找智能生命。它总结了人类的生活。
人类有23对染色体。
前23个素数的总和是874，可以被23除以。
广岛原子弹是在8：15投下的。8 + 15 = 23。
23是由连续数字组成的最小的质数
圣殿骑士团有23位大师。
平均而言，人类的血液每23秒在全身循环一次。
π (π)和Tau (τ)
π是著名的无理数，表示圆的周长与半径之比。
如果我们画一个直径为1的圆，那么周长就等于3.14159……，用π来表示。它就是周长除以直径。现在，我们不需要回顾几何概念，所以，我给出π的一个性质：
它是无限不循环小数。
我为什么要把τ包括进来？一些数学家一直在争论π的用处，并提出τ，即τ = 2π。许多数学家认为τ更适合计算圆。当我们想要深入研究细节时，他们的直觉是正确的，但谁不喜欢π呢？
欧拉恒等式
把数学中一些最美丽的概念结合起来，就能得到如此简单的结果。让我们首先回顾一下我们讨论的是什么概念，以及我们如何将它们结合起来：
欧拉数e
单位虚数i
令人着迷的是，这三者共同组成一个方程式，如下面的方程式，给我们带来了简单的结果-1。
我们怎么从这三个数中得到-1的？
正如我们已经知道，i的平方为-1。欧拉运用泰勒级数与i的关系，得到了以下方程：
把上面的欧拉公式放在一个复平面上（有实数和虚数），我们得到一个圆。引入半径r，我们可以将这些点转变成另一种形式。如果我们假设x = π，那么我们会得到:
知道cos π = -1 sin π = 0，那么右边的i就会消失：
所以，我们也可以重新排列这个方程，使它更漂亮，加上另一个简单的数字：
数字6174
也被称为卡普雷卡的常数，如果你遵循以下步骤，这个数字有一个特殊的性质：
取任意四位数。
按降序和升序排列数字，得到两个新的四位数。
现在，用较大的数减去较小的数。
重做步骤2。
如果你重复多次，你总是会得到6174，这就是神奇的地方。为什么我们总是以这个数结束。以2714为例：
7421 -1247 = 6174
再以3687为例：
8763 -3678 = 5085；
8550 -0558 = 7992；
9972 -2799 = 7173；
7731 -1377 = 6354；
6543 -3456 = 3087；
8730 -0378 = 8352；
8532 -2358 = 6174
如果选择6174，那么会一直保持在6174，因为7641 -1467 = 6174。
它也是一个哈沙德数（ Harshad number），意味着它能被它的组成部分的和整除：6174 /(6 + 1 + 7 + 4)= 6174 / 18 = 343。
黄金比例
我们已经讨论过这个比例，但它可能是世界上最重要的比例。以下是它的特点：
0.618的倒数就是1 + 0.618。因此，1 / ϕ≈1 + ϕ
它出现在《自然》杂志上。一些树枝就是一个例子。主干将一直生长，直到产生一个分支，从而创建两个新的起点。其中一个起点会增加另外两个，而另一个不会。这种模式类似于斐波那契模式。
人们认为它代表着美，尽管这种观点尚未得到证实，但了解我们的头脑如何定义美仍然是一件有趣的事情。例如，脸。下面这段可能不是最准确的研究，但施密德博士把人的脸分为10个等级，10是最高的（最美的人），大多数人的得分在4到6之间。美的标准是，首先用脸部的长度除以宽度，最优结果为1.618。之后，还会计算出其他的比例，比如鼻底到下巴的比例。最后，进行对称测试以检查更多的美的指标。施密德博士说，除了其他特征外，在完美的脸上，耳朵的长度应该与鼻子的长度相等。
它出现在几何学中。许多建筑和艺术品都有黄金比例，希腊的帕台农神庙就是一个例子。这个方块里嵌着黄金比例。
数学中，很多数字隐含着惊人的信息，向人类传达自然宇宙的奥秘，下面将讨论自然界中13个迷人的数字。
阿列夫零（Aleph Null ℵ_0）
阿列夫零是一个美丽的概念。它是最小的无穷数。我知道你们在想什么，无穷应该只是一个概念，而不是一个具体的数字。毕竟，如果有一个无穷大大于另一个无穷大，第一个肯定不是无穷大。
让我们对无穷大有一个基本的概念（下面会讨论）。阿列夫零是有多少个自然数（0,1,2,3，……）。这个数字是无限的。
如果我们把所有的自然数数两到三遍会怎样？在数完第一遍之后，我们将按顺序得到超出自然数的数字。我们需要数的顺序，也就是序数。阿列夫零的下一个数字是ω，然后是ω + 1，它们不是基数，而是序数，也就是说，它们代表它们相对于横轴的位置。下图是一个简单的表示法。每个集合都可以表示存在的自然数集合，每个集合的势为ℵ_0。在第一个集合之后添加一个不会改变势。
把它们（势）看作序数会有帮助。因此，集合后的第一个序数超限数就是我们在上面讨论过的ω。
有趣的是，ω + 1不一定比ω大，它只是排在后面。这有点难以接受，以下是我们应该知道的：
无穷和阿列夫零是两个不同的东西。前者只是一个位于数字轴上的极端极限概念，而后者只是集合的大小（势）。
是集合的大小，基数表示数量(1，2，459，1002等)；序数表示顺序(第1，第2，第66等)。
正如有无限的基数，也有无限的序数，第一个无限（不可数）序数是我们在上面讨论过的，ω。
按照这个逻辑，阿列夫1是ω的基数。
阿列夫零只是众多“阿列夫”中的第一个。
无穷∞
这更像是一个想法或概念，而不是一个数字。这个符号通常被称为无穷∞。在讨论无穷大的特性和有趣的事实之前，有一件重要的事情是，数字π被认为是无穷大的一种形式。这里我们指的是点3.14159之后的数字范围……这就是为什么无穷大是一个概念，而不是我们能够量化的东西。另一个例子来自于美丽的分形领域。以简单的科赫雪花为例，它可以细分为无穷小的相同形状的雪花。
有趣的是，当我们想到无穷大时，我们想象的是一个不断增长的度量，但它并没有膨胀变大。
让我们来讨论两个与无限相关的简单话题。
0.99999 = 1吗？
很自然地，0.99999有无穷多个9，我们知道它等于1。用代数方法证明它也是可能的：
如果X = 0.9999，那么10 x = 9.9999
如果两边同时减去X，就得到
9x = 9.9999 -0.9999
9 x = 9
两边除以9
得到，X = 1
奇怪，是吧？
∞-∞= 0吗？
任何数字减去自身都是零。但无穷大不是一个数字。因此，让我们尝试一个测试：
假设，∞-∞= 0∞-∞+ 1= 0 + 1 #两边同时加1
∞-∞= 1 #知道∞+ 1 =∞，我们可以化简方程
剩下的是另一个结果。通过这个方法，我们可以得到∞-∞等于我们想要的任何数。因此，∞-∞的答案是没有定义的。
最后，我们还被告诫任何数都不能除以0。老师告诉我们1 / 0 = Undefined。直观地考虑一下，如果0个人除以1个苹果，需要多少人来覆盖整个苹果？自然地，它是一种永不崩溃的无限形式。
原来，1 / 0 =∞。为什么我们被教导结果是没有定义的呢？很简单，当1 除以一个无限小的整数趋于无穷时，很容易假设1 / 0 =∞。这里，无穷是正无穷。如果我们取趋近于0的小负数，我们也可以假设1 / 0 = -∞。那么，到底是哪一个呢？是1 / 0 =∞还是1 / 0 = -∞？答案是没有定义的。
下面是无穷的运算：
i
i指的是虚数。虚数的定义是它的平方是一个负数。我们知道两个相同符号的数字相乘总是会得到正的结果。但这并不能阻止我们创造一个公理，来阻止这些数字的存在。我们称它们为虚的，因为它们不应该存在。-6的平方根是多少？我们不知道。但数学的美妙之处在于，与其他科学工具不同，你可以假设事物存在。
虚数的概念很简单。我们可以假定它们存在。它们有什么作用？我们可以解一些需要负数平方根的方程。这里有一个例子：
根号4是多少？很简单，是2。
根号-4是什么？稍微复杂一点，答案是2i。
我们加上i表示虚数，使2的2次方等于-4。让我们来看看一个通常没有解的简单方程，看看它是如何用虚数解出来的:
显然，x的2次方永远不会得到负数（在我们的例子中是-1），所以我们假设答案乘以i。
就像数字1代表实数。虚数的其他用途是把它们和自然数结合成复数（例如7i + 12）。
古戈尔（Googol）
古戈尔等于1后面跟100个0，即：
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。
或者是：
大约是70!，即70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59 ....x1。
更复杂的是，有一个数字叫做“Googol plex”，它只是“Googol”的10次方，写法为：
有趣的是，谷歌公司是Googol名字的误拼。这个数字主要用于天文研究，如宇宙的大冻结。
数字9
这是我最喜欢的数字，我发现它在视觉和数学上都很漂亮。在几何学中，我们往往会发现它隐藏在很多地方，比如：
圆，它有360度（3 + 6 + 0 = 9）
把圆切成两半，每一半是180度（1 + 8 + 0 = 9）
把圆切成四等份，每个角是90度（9 + 0 = 9）
切成8份，每部分45度（4 + 5 + 0 = 9）
继续，16份，每部分22.5度（2 + 2 + 5 = 9）
继续，32份，每部分为11.25度（1 + 1 + 2 +5 = 9）
一个正方形，内角和是是90 × 4（360 = 3 + 6 + 0 = 9）
下面是图形和它们的角度。
从左上到下：五边形，八边形，十边形。
五边形= 108 = 1 + 0 + 8 = 9 // 72 = 7 + 2 = 9
八边形=135 =1 + 3 + 5 = 9 // 45 = 4 + 5 = 9
十边形= 144 = 1 + 4 + 4 = 9 // 36 = 3 + 6 = 9
同样，如果我们把9前面的数相加（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36）。然后，3 + 6 = 9。
把9和它前面的数字相乘，然后把它们的元素相加，结果总是9，例如：
9 x 1 = 9
9 x 3 = 27 = 2 + 7 = 9
9 x 7 = 63 = 6 + 3 = 9
9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9
这些数字除以9总是得到相同的数字，一直重复到无穷，例如：
1 / 9 = 0.11111
3 / 9 = 0.33333
7 / 9 = 0.77777
数字73
如果你是《生活大爆炸》的粉丝，那么你一定听过谢尔顿·库珀博士说过为什么73是完美的数字，下面是他的原话：
最好的数字是73。为什么？73是第21个质数。它的镜像，37，是第12个质数，是21的的镜像。而21，是7和3的乘积。在二进制中，73是回文“1001001”，倒着也是是1001001。
这些话出自《生活大爆炸》第四季第十集，而这一集恰好是该剧的第73集（也是饰演谢耳朵的男演员吉姆·帕森斯出生的那一年）。
欧拉数
e以莱昂哈德·欧拉的名字命名，是一个无理数，是自然对数的底数。已知欧拉数的精度约为1万亿位。可由以下公式得出：
当n趋于无穷时，我们对e的值有了更清晰的认识，当n = 100,000时，e = 2.71827。e有一个有趣的性质，它的斜率值就是它本身。它也被用于金融计算复利。
斐波那契序列
列奥纳多·斐波那契在观察兔子种群的同时，用简单的加法技术创造了我们宇宙中最迷人的数列之一。现在，一些证据表明，印度数学家事先就知道这个数列，我们坚持被广泛接受的事实，即斐波那契提出了这个数列。
斐波纳契数列可以用下面简单的公式得到（n＞2）：
得到了下面的无穷数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，....
这个数列的美妙之处在于它与自然有关。例如，出现在了开花的朝鲜蓟、一些花瓣如雏菊中。它甚至发生在星系螺旋中。
甚至有一个非常有趣的观察，基于事实表明，地球和月球的尺寸是ϕ的关系，比值是1.618。那么这个1.618是什么呢?
如果我们取序列中的任意两个连续数，它们的比值（Xn / Xn-1）接近于1.618，这就是我们所说的黄金比例：
3 / 2 = 1.5
13 / 8 = 1.666
55 / 34 = 1.61764
233 / 144 = 1.61805
317,811 / 196,418 = 1.61803
在无穷大时，比值接近1.618，也称为Phi （ϕ）。我们将在下面更详细地讨论ϕ。
23
很多人都看过电影《数字23》，金·凯瑞饰演的沃尔特·斯派洛是一个在一本书中读到数字23后对它着迷的人。人们认为这个数字神秘地与世界上许多事件吻合，虽然这可能是一个幻想性错觉的完美例子，但列出一些包含23的事件仍然很有趣：
如果我们把9/11悲剧事件的全部日期写成：9 + 11 + 2 + 0 + 0 + 1 = 23。当然，我们也可以这样：9 + 11 + 2001 = 2021。
根据生日悖论，23是随机选择的最少人数，以获得至少50%的概率，有至少两个人的生日相同。随机选择70个人，至少有两个人生日相同的概率是99.99%。
威廉·莎士比亚生于4月23日，巧合的是，他也死于4月23日。
泰坦尼克号于1912年4月15日沉没。把整个日期加起来就是4 + 1 + 5 + 1 + 9 + 1 + 2 = 23。这里面多多少少有些人为选择的因素。
地球在其轨道平面上倾斜23.5度。我们可以把5看成是2 + 3，让这变得有趣一点。
阿雷西博信息（The Arecibo message）由1679比特组成，排列成73行，每行23个字符。当然，这是人类编造的，但它仍然很有趣。阿雷西博信息是一个从地球向太空发送的信息，以寻找智能生命。它总结了人类的生活。
人类有23对染色体。
前23个素数的总和是874，可以被23除以。
广岛原子弹是在8：15投下的。8 + 15 = 23。
23是由连续数字组成的最小的质数
圣殿骑士团有23位大师。
平均而言，人类的血液每23秒在全身循环一次。
π (π)和Tau (τ)
π是著名的无理数，表示圆的周长与半径之比。
如果我们画一个直径为1的圆，那么周长就等于3.14159……，用π来表示。它就是周长除以直径。现在，我们不需要回顾几何概念，所以，我给出π的一个性质：
它是无限不循环小数。
我为什么要把τ包括进来？一些数学家一直在争论π的用处，并提出τ，即τ = 2π。许多数学家认为τ更适合计算圆。当我们想要深入研究细节时，他们的直觉是正确的，但谁不喜欢π呢？
欧拉恒等式
把数学中一些最美丽的概念结合起来，就能得到如此简单的结果。让我们首先回顾一下我们讨论的是什么概念，以及我们如何将它们结合起来：
欧拉数e
单位虚数i
令人着迷的是，这三者共同组成一个方程式，如下面的方程式，给我们带来了简单的结果-1。
我们怎么从这三个数中得到-1的？
正如我们已经知道，i的平方为-1。欧拉运用泰勒级数与i的关系，得到了以下方程：
把上面的欧拉公式放在一个复平面上（有实数和虚数），我们得到一个圆。引入半径r，我们可以将这些点转变成另一种形式。如果我们假设x = π，那么我们会得到:
知道cos π = -1 sin π = 0，那么右边的i就会消失：
所以，我们也可以重新排列这个方程，使它更漂亮，加上另一个简单的数字：
数字6174
也被称为卡普雷卡的常数，如果你遵循以下步骤，这个数字有一个特殊的性质：
取任意四位数。
按降序和升序排列数字，得到两个新的四位数。
现在，用较大的数减去较小的数。
重做步骤2。
如果你重复多次，你总是会得到6174，这就是神奇的地方。为什么我们总是以这个数结束。以2714为例：
7421 -1247 = 6174
再以3687为例：
8763 -3678 = 5085；
8550 -0558 = 7992；
9972 -2799 = 7173；
7731 -1377 = 6354；
6543 -3456 = 3087；
8730 -0378 = 8352；
8532 -2358 = 6174
如果选择6174，那么会一直保持在6174，因为7641 -1467 = 6174。
它也是一个哈沙德数（ Harshad number），意味着它能被它的组成部分的和整除：6174 /(6 + 1 + 7 + 4)= 6174 / 18 = 343。
黄金比例
我们已经讨论过这个比例，但它可能是世界上最重要的比例。以下是它的特点：
0.618的倒数就是1 + 0.618。因此，1 / ϕ≈1 + ϕ
它出现在《自然》杂志上。一些树枝就是一个例子。主干将一直生长，直到产生一个分支，从而创建两个新的起点。其中一个起点会增加另外两个，而另一个不会。这种模式类似于斐波那契模式。
人们认为它代表着美，尽管这种观点尚未得到证实，但了解我们的头脑如何定义美仍然是一件有趣的事情。例如，脸。下面这段可能不是最准确的研究，但施密德博士把人的脸分为10个等级，10是最高的（最美的人），大多数人的得分在4到6之间。美的标准是，首先用脸部的长度除以宽度，最优结果为1.618。之后，还会计算出其他的比例，比如鼻底到下巴的比例。最后，进行对称测试以检查更多的美的指标。施密德博士说，除了其他特征外，在完美的脸上，耳朵的长度应该与鼻子的长度相等。
它出现在几何学中。许多建筑和艺术品都有黄金比例，希腊的帕台农神庙就是一个例子。这个方块里嵌着黄金比例。
数学中，很多数字隐含着惊人的信息，向人类传达自然宇宙的奥秘，下面将讨论自然界中13个迷人的数字。
阿列夫零（Aleph Null ℵ_0）
阿列夫零是一个美丽的概念。它是最小的无穷数。我知道你们在想什么，无穷应该只是一个概念，而不是一个具体的数字。毕竟，如果有一个无穷大大于另一个无穷大，第一个肯定不是无穷大。
让我们对无穷大有一个基本的概念（下面会讨论）。阿列夫零是有多少个自然数（0,1,2,3，……）。这个数字是无限的。
如果我们把所有的自然数数两到三遍会怎样？在数完第一遍之后，我们将按顺序得到超出自然数的数字。我们需要数的顺序，也就是序数。阿列夫零的下一个数字是ω，然后是ω + 1，它们不是基数，而是序数，也就是说，它们代表它们相对于横轴的位置。下图是一个简单的表示法。每个集合都可以表示存在的自然数集合，每个集合的势为ℵ_0。在第一个集合之后添加一个不会改变势。
把它们（势）看作序数会有帮助。因此，集合后的第一个序数超限数就是我们在上面讨论过的ω。
有趣的是，ω + 1不一定比ω大，它只是排在后面。这有点难以接受，以下是我们应该知道的：
无穷和阿列夫零是两个不同的东西。前者只是一个位于数字轴上的极端极限概念，而后者只是集合的大小（势）。
是集合的大小，基数表示数量(1，2，459，1002等)；序数表示顺序(第1，第2，第66等)。
正如有无限的基数，也有无限的序数，第一个无限（不可数）序数是我们在上面讨论过的，ω。
按照这个逻辑，阿列夫1是ω的基数。
阿列夫零只是众多“阿列夫”中的第一个。
无穷∞
这更像是一个想法或概念，而不是一个数字。这个符号通常被称为无穷∞。在讨论无穷大的特性和有趣的事实之前，有一件重要的事情是，数字π被认为是无穷大的一种形式。这里我们指的是点3.14159之后的数字范围……这就是为什么无穷大是一个概念，而不是我们能够量化的东西。另一个例子来自于美丽的分形领域。以简单的科赫雪花为例，它可以细分为无穷小的相同形状的雪花。
有趣的是，当我们想到无穷大时，我们想象的是一个不断增长的度量，但它并没有膨胀变大。
让我们来讨论两个与无限相关的简单话题。
0.99999 = 1吗？
很自然地，0.99999有无穷多个9，我们知道它等于1。用代数方法证明它也是可能的：
如果X = 0.9999，那么10 x = 9.9999
如果两边同时减去X，就得到
9x = 9.9999 -0.9999
9 x = 9
两边除以9
得到，X = 1
奇怪，是吧？
∞-∞= 0吗？
任何数字减去自身都是零。但无穷大不是一个数字。因此，让我们尝试一个测试：
假设，∞-∞= 0∞-∞+ 1= 0 + 1 #两边同时加1
∞-∞= 1 #知道∞+ 1 =∞，我们可以化简方程
剩下的是另一个结果。通过这个方法，我们可以得到∞-∞等于我们想要的任何数。因此，∞-∞的答案是没有定义的。
最后，我们还被告诫任何数都不能除以0。老师告诉我们1 / 0 = Undefined。直观地考虑一下，如果0个人除以1个苹果，需要多少人来覆盖整个苹果？自然地，它是一种永不崩溃的无限形式。
原来，1 / 0 =∞。为什么我们被教导结果是没有定义的呢？很简单，当1 除以一个无限小的整数趋于无穷时，很容易假设1 / 0 =∞。这里，无穷是正无穷。如果我们取趋近于0的小负数，我们也可以假设1 / 0 = -∞。那么，到底是哪一个呢？是1 / 0 =∞还是1 / 0 = -∞？答案是没有定义的。
下面是无穷的运算：
i
i指的是虚数。虚数的定义是它的平方是一个负数。我们知道两个相同符号的数字相乘总是会得到正的结果。但这并不能阻止我们创造一个公理，来阻止这些数字的存在。我们称它们为虚的，因为它们不应该存在。-6的平方根是多少？我们不知道。但数学的美妙之处在于，与其他科学工具不同，你可以假设事物存在。
虚数的概念很简单。我们可以假定它们存在。它们有什么作用？我们可以解一些需要负数平方根的方程。这里有一个例子：
根号4是多少？很简单，是2。
根号-4是什么？稍微复杂一点，答案是2i。
我们加上i表示虚数，使2的2次方等于-4。让我们来看看一个通常没有解的简单方程，看看它是如何用虚数解出来的:
显然，x的2次方永远不会得到负数（在我们的例子中是-1），所以我们假设答案乘以i。
就像数字1代表实数。虚数的其他用途是把它们和自然数结合成复数（例如7i + 12）。
古戈尔（Googol）
古戈尔等于1后面跟100个0，即：
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。
或者是：
大约是70!，即70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59 ....x1。
更复杂的是，有一个数字叫做“Googol plex”，它只是“Googol”的10次方，写法为：
有趣的是，谷歌公司是Googol名字的误拼。这个数字主要用于天文研究，如宇宙的大冻结。
数字9
这是我最喜欢的数字，我发现它在视觉和数学上都很漂亮。在几何学中，我们往往会发现它隐藏在很多地方，比如：
圆，它有360度（3 + 6 + 0 = 9）
把圆切成两半，每一半是180度（1 + 8 + 0 = 9）
把圆切成四等份，每个角是90度（9 + 0 = 9）
切成8份，每部分45度（4 + 5 + 0 = 9）
继续，16份，每部分22.5度（2 + 2 + 5 = 9）
继续，32份，每部分为11.25度（1 + 1 + 2 +5 = 9）
一个正方形，内角和是是90 × 4（360 = 3 + 6 + 0 = 9）
下面是图形和它们的角度。
从左上到下：五边形，八边形，十边形。
五边形= 108 = 1 + 0 + 8 = 9 // 72 = 7 + 2 = 9
八边形=135 =1 + 3 + 5 = 9 // 45 = 4 + 5 = 9
十边形= 144 = 1 + 4 + 4 = 9 // 36 = 3 + 6 = 9
同样，如果我们把9前面的数相加（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36）。然后，3 + 6 = 9。
把9和它前面的数字相乘，然后把它们的元素相加，结果总是9，例如：
9 x 1 = 9
9 x 3 = 27 = 2 + 7 = 9
9 x 7 = 63 = 6 + 3 = 9
9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9
这些数字除以9总是得到相同的数字，一直重复到无穷，例如：
1 / 9 = 0.11111
3 / 9 = 0.33333
7 / 9 = 0.77777
数字73
如果你是《生活大爆炸》的粉丝，那么你一定听过谢尔顿·库珀博士说过为什么73是完美的数字，下面是他的原话：
最好的数字是73。为什么？73是第21个质数。它的镜像，37，是第12个质数，是21的的镜像。而21，是7和3的乘积。在二进制中，73是回文“1001001”，倒着也是是1001001。
这些话出自《生活大爆炸》第四季第十集，而这一集恰好是该剧的第73集（也是饰演谢耳朵的男演员吉姆·帕森斯出生的那一年）。
欧拉数
e以莱昂哈德·欧拉的名字命名，是一个无理数，是自然对数的底数。已知欧拉数的精度约为1万亿位。可由以下公式得出：
当n趋于无穷时，我们对e的值有了更清晰的认识，当n = 100,000时，e = 2.71827。e有一个有趣的性质，它的斜率值就是它本身。它也被用于金融计算复利。
斐波那契序列
列奥纳多·斐波那契在观察兔子种群的同时，用简单的加法技术创造了我们宇宙中最迷人的数列之一。现在，一些证据表明，印度数学家事先就知道这个数列，我们坚持被广泛接受的事实，即斐波那契提出了这个数列。
斐波纳契数列可以用下面简单的公式得到（n＞2）：
得到了下面的无穷数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，....
这个数列的美妙之处在于它与自然有关。例如，出现在了开花的朝鲜蓟、一些花瓣如雏菊中。它甚至发生在星系螺旋中。
甚至有一个非常有趣的观察，基于事实表明，地球和月球的尺寸是ϕ的关系，比值是1.618。那么这个1.618是什么呢?
如果我们取序列中的任意两个连续数，它们的比值（Xn / Xn-1）接近于1.618，这就是我们所说的黄金比例：
3 / 2 = 1.5
13 / 8 = 1.666
55 / 34 = 1.61764
233 / 144 = 1.61805
317,811 / 196,418 = 1.61803
在无穷大时，比值接近1.618，也称为Phi （ϕ）。我们将在下面更详细地讨论ϕ。
23
很多人都看过电影《数字23》，金·凯瑞饰演的沃尔特·斯派洛是一个在一本书中读到数字23后对它着迷的人。人们认为这个数字神秘地与世界上许多事件吻合，虽然这可能是一个幻想性错觉的完美例子，但列出一些包含23的事件仍然很有趣：
如果我们把9/11悲剧事件的全部日期写成：9 + 11 + 2 + 0 + 0 + 1 = 23。当然，我们也可以这样：9 + 11 + 2001 = 2021。
根据生日悖论，23是随机选择的最少人数，以获得至少50%的概率，有至少两个人的生日相同。随机选择70个人，至少有两个人生日相同的概率是99.99%。
威廉·莎士比亚生于4月23日，巧合的是，他也死于4月23日。
泰坦尼克号于1912年4月15日沉没。把整个日期加起来就是4 + 1 + 5 + 1 + 9 + 1 + 2 = 23。这里面多多少少有些人为选择的因素。
地球在其轨道平面上倾斜23.5度。我们可以把5看成是2 + 3，让这变得有趣一点。
阿雷西博信息（The Arecibo message）由1679比特组成，排列成73行，每行23个字符。当然，这是人类编造的，但它仍然很有趣。阿雷西博信息是一个从地球向太空发送的信息，以寻找智能生命。它总结了人类的生活。
人类有23对染色体。
前23个素数的总和是874，可以被23除以。
广岛原子弹是在8：15投下的。8 + 15 = 23。
23是由连续数字组成的最小的质数
圣殿骑士团有23位大师。
平均而言，人类的血液每23秒在全身循环一次。
π (π)和Tau (τ)
π是著名的无理数，表示圆的周长与半径之比。
如果我们画一个直径为1的圆，那么周长就等于3.14159……，用π来表示。它就是周长除以直径。现在，我们不需要回顾几何概念，所以，我给出π的一个性质：
它是无限不循环小数。
我为什么要把τ包括进来？一些数学家一直在争论π的用处，并提出τ，即τ = 2π。许多数学家认为τ更适合计算圆。当我们想要深入研究细节时，他们的直觉是正确的，但谁不喜欢π呢？
欧拉恒等式
把数学中一些最美丽的概念结合起来，就能得到如此简单的结果。让我们首先回顾一下我们讨论的是什么概念，以及我们如何将它们结合起来：
欧拉数e
单位虚数i
令人着迷的是，这三者共同组成一个方程式，如下面的方程式，给我们带来了简单的结果-1。
我们怎么从这三个数中得到-1的？
正如我们已经知道，i的平方为-1。欧拉运用泰勒级数与i的关系，得到了以下方程：
把上面的欧拉公式放在一个复平面上（有实数和虚数），我们得到一个圆。引入半径r，我们可以将这些点转变成另一种形式。如果我们假设x = π，那么我们会得到:
知道cos π = -1 sin π = 0，那么右边的i就会消失：
所以，我们也可以重新排列这个方程，使它更漂亮，加上另一个简单的数字：
数字6174
也被称为卡普雷卡的常数，如果你遵循以下步骤，这个数字有一个特殊的性质：
取任意四位数。
按降序和升序排列数字，得到两个新的四位数。
现在，用较大的数减去较小的数。
重做步骤2。
如果你重复多次，你总是会得到6174，这就是神奇的地方。为什么我们总是以这个数结束。以2714为例：
7421 -1247 = 6174
再以3687为例：
8763 -3678 = 5085；
8550 -0558 = 7992；
9972 -2799 = 7173；
7731 -1377 = 6354；
6543 -3456 = 3087；
8730 -0378 = 8352；
8532 -2358 = 6174
如果选择6174，那么会一直保持在6174，因为7641 -1467 = 6174。
它也是一个哈沙德数（ Harshad number），意味着它能被它的组成部分的和整除：6174 /(6 + 1 + 7 + 4)= 6174 / 18 = 343。
黄金比例
我们已经讨论过这个比例，但它可能是世界上最重要的比例。以下是它的特点：
0.618的倒数就是1 + 0.618。因此，1 / ϕ≈1 + ϕ
它出现在《自然》杂志上。一些树枝就是一个例子。主干将一直生长，直到产生一个分支，从而创建两个新的起点。其中一个起点会增加另外两个，而另一个不会。这种模式类似于斐波那契模式。
人们认为它代表着美，尽管这种观点尚未得到证实，但了解我们的头脑如何定义美仍然是一件有趣的事情。例如，脸。下面这段可能不是最准确的研究，但施密德博士把人的脸分为10个等级，10是最高的（最美的人），大多数人的得分在4到6之间。美的标准是，首先用脸部的长度除以宽度，最优结果为1.618。之后，还会计算出其他的比例，比如鼻底到下巴的比例。最后，进行对称测试以检查更多的美的指标。施密德博士说，除了其他特征外，在完美的脸上，耳朵的长度应该与鼻子的长度相等。
它出现在几何学中。许多建筑和艺术品都有黄金比例，希腊的帕台农神庙就是一个例子。这个方块里嵌着黄金比例
数学中，很多数字隐含着惊人的信息，向人类传达自然宇宙的奥秘，下面将讨论自然界中13个迷人的数字。
阿列夫零（Aleph Null ℵ_0）
阿列夫零是一个美丽的概念。它是最小的无穷数。我知道你们在想什么，无穷应该只是一个概念，而不是一个具体的数字。毕竟，如果有一个无穷大大于另一个无穷大，第一个肯定不是无穷大。
让我们对无穷大有一个基本的概念（下面会讨论）。阿列夫零是有多少个自然数（0,1,2,3，……）。这个数字是无限的。
如果我们把所有的自然数数两到三遍会怎样？在数完第一遍之后，我们将按顺序得到超出自然数的数字。我们需要数的顺序，也就是序数。阿列夫零的下一个数字是ω，然后是ω + 1，它们不是基数，而是序数，也就是说，它们代表它们相对于横轴的位置。下图是一个简单的表示法。每个集合都可以表示存在的自然数集合，每个集合的势为ℵ_0。在第一个集合之后添加一个不会改变势。
把它们（势）看作序数会有帮助。因此，集合后的第一个序数超限数就是我们在上面讨论过的ω。
有趣的是，ω + 1不一定比ω大，它只是排在后面。这有点难以接受，以下是我们应该知道的：
无穷和阿列夫零是两个不同的东西。前者只是一个位于数字轴上的极端极限概念，而后者只是集合的大小（势）。
是集合的大小，基数表示数量(1，2，459，1002等)；序数表示顺序(第1，第2，第66等)。
正如有无限的基数，也有无限的序数，第一个无限（不可数）序数是我们在上面讨论过的，ω。
按照这个逻辑，阿列夫1是ω的基数。
阿列夫零只是众多“阿列夫”中的第一个。
无穷∞
这更像是一个想法或概念，而不是一个数字。这个符号通常被称为无穷∞。在讨论无穷大的特性和有趣的事实之前，有一件重要的事情是，数字π被认为是无穷大的一种形式。这里我们指的是点3.14159之后的数字范围……这就是为什么无穷大是一个概念，而不是我们能够量化的东西。另一个例子来自于美丽的分形领域。以简单的科赫雪花为例，它可以细分为无穷小的相同形状的雪花。
有趣的是，当我们想到无穷大时，我们想象的是一个不断增长的度量，但它并没有膨胀变大。
让我们来讨论两个与无限相关的简单话题。
0.99999 = 1吗？
很自然地，0.99999有无穷多个9，我们知道它等于1。用代数方法证明它也是可能的：
如果X = 0.9999，那么10 x = 9.9999
如果两边同时减去X，就得到
9x = 9.9999 -0.9999
9 x = 9
两边除以9
得到，X = 1
奇怪，是吧？
∞-∞= 0吗？
任何数字减去自身都是零。但无穷大不是一个数字。因此，让我们尝试一个测试：
假设，∞-∞= 0∞-∞+ 1= 0 + 1 #两边同时加1
∞-∞= 1 #知道∞+ 1 =∞，我们可以化简方程
剩下的是另一个结果。通过这个方法，我们可以得到∞-∞等于我们想要的任何数。因此，∞-∞的答案是没有定义的。
最后，我们还被告诫任何数都不能除以0。老师告诉我们1 / 0 = Undefined。直观地考虑一下，如果0个人除以1个苹果，需要多少人来覆盖整个苹果？自然地，它是一种永不崩溃的无限形式。
原来，1 / 0 =∞。为什么我们被教导结果是没有定义的呢？很简单，当1 除以一个无限小的整数趋于无穷时，很容易假设1 / 0 =∞。这里，无穷是正无穷。如果我们取趋近于0的小负数，我们也可以假设1 / 0 = -∞。那么，到底是哪一个呢？是1 / 0 =∞还是1 / 0 = -∞？答案是没有定义的。
下面是无穷的运算：
i
i指的是虚数。虚数的定义是它的平方是一个负数。我们知道两个相同符号的数字相乘总是会得到正的结果。但这并不能阻止我们创造一个公理，来阻止这些数字的存在。我们称它们为虚的，因为它们不应该存在。-6的平方根是多少？我们不知道。但数学的美妙之处在于，与其他科学工具不同，你可以假设事物存在。
虚数的概念很简单。我们可以假定它们存在。它们有什么作用？我们可以解一些需要负数平方根的方程。这里有一个例子：
根号4是多少？很简单，是2。
根号-4是什么？稍微复杂一点，答案是2i。
我们加上i表示虚数，使2的2次方等于-4。让我们来看看一个通常没有解的简单方程，看看它是如何用虚数解出来的:
显然，x的2次方永远不会得到负数（在我们的例子中是-1），所以我们假设答案乘以i。
就像数字1代表实数。虚数的其他用途是把它们和自然数结合成复数（例如7i + 12）。
古戈尔（Googol）
古戈尔等于1后面跟100个0，即：
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。
或者是：
大约是70!，即70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59 ....x1。
更复杂的是，有一个数字叫做“Googol plex”，它只是“Googol”的10次方，写法为：
有趣的是，谷歌公司是Googol名字的误拼。这个数字主要用于天文研究，如宇宙的大冻结。
数字9
这是我最喜欢的数字，我发现它在视觉和数学上都很漂亮。在几何学中，我们往往会发现它隐藏在很多地方，比如：
圆，它有360度（3 + 6 + 0 = 9）
把圆切成两半，每一半是180度（1 + 8 + 0 = 9）
把圆切成四等份，每个角是90度（9 + 0 = 9）
切成8份，每部分45度（4 + 5 + 0 = 9）
继续，16份，每部分22.5度（2 + 2 + 5 = 9）
继续，32份，每部分为11.25度（1 + 1 + 2 +5 = 9）
一个正方形，内角和是是90 × 4（360 = 3 + 6 + 0 = 9）
下面是图形和它们的角度。
从左上到下：五边形，八边形，十边形。
五边形= 108 = 1 + 0 + 8 = 9 // 72 = 7 + 2 = 9
八边形=135 =1 + 3 + 5 = 9 // 45 = 4 + 5 = 9
十边形= 144 = 1 + 4 + 4 = 9 // 36 = 3 + 6 = 9
同样，如果我们把9前面的数相加（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36）。然后，3 + 6 = 9。
把9和它前面的数字相乘，然后把它们的元素相加，结果总是9，例如：
9 x 1 = 9
9 x 3 = 27 = 2 + 7 = 9
9 x 7 = 63 = 6 + 3 = 9
9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9
这些数字除以9总是得到相同的数字，一直重复到无穷，例如：
1 / 9 = 0.11111
3 / 9 = 0.33333
7 / 9 = 0.77777
数字73
如果你是《生活大爆炸》的粉丝，那么你一定听过谢尔顿·库珀博士说过为什么73是完美的数字，下面是他的原话：
最好的数字是73。为什么？73是第21个质数。它的镜像，37，是第12个质数，是21的的镜像。而21，是7和3的乘积。在二进制中，73是回文“1001001”，倒着也是是1001001。
这些话出自《生活大爆炸》第四季第十集，而这一集恰好是该剧的第73集（也是饰演谢耳朵的男演员吉姆·帕森斯出生的那一年）。
欧拉数
e以莱昂哈德·欧拉的名字命名，是一个无理数，是自然对数的底数。已知欧拉数的精度约为1万亿位。可由以下公式得出：
当n趋于无穷时，我们对e的值有了更清晰的认识，当n = 100,000时，e = 2.71827。e有一个有趣的性质，它的斜率值就是它本身。它也被用于金融计算复利。
斐波那契序列
列奥纳多·斐波那契在观察兔子种群的同时，用简单的加法技术创造了我们宇宙中最迷人的数列之一。现在，一些证据表明，印度数学家事先就知道这个数列，我们坚持被广泛接受的事实，即斐波那契提出了这个数列。
斐波纳契数列可以用下面简单的公式得到（n＞2）：
得到了下面的无穷数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，....
这个数列的美妙之处在于它与自然有关。例如，出现在了开花的朝鲜蓟、一些花瓣如雏菊中。它甚至发生在星系螺旋中。
甚至有一个非常有趣的观察，基于事实表明，地球和月球的尺寸是ϕ的关系，比值是1.618。那么这个1.618是什么呢?
如果我们取序列中的任意两个连续数，它们的比值（Xn / Xn-1）接近于1.618，这就是我们所说的黄金比例：
3 / 2 = 1.5
13 / 8 = 1.666
55 / 34 = 1.61764
233 / 144 = 1.61805
317,811 / 196,418 = 1.61803
在无穷大时，比值接近1.618，也称为Phi （ϕ）。我们将在下面更详细地讨论ϕ。
23
很多人都看过电影《数字23》，金·凯瑞饰演的沃尔特·斯派洛是一个在一本书中读到数字23后对它着迷的人。人们认为这个数字神秘地与世界上许多事件吻合，虽然这可能是一个幻想性错觉的完美例子，但列出一些包含23的事件仍然很有趣：
如果我们把9/11悲剧事件的全部日期写成：9 + 11 + 2 + 0 + 0 + 1 = 23。当然，我们也可以这样：9 + 11 + 2001 = 2021。
根据生日悖论，23是随机选择的最少人数，以获得至少50%的概率，有至少两个人的生日相同。随机选择70个人，至少有两个人生日相同的概率是99.99%。
威廉·莎士比亚生于4月23日，巧合的是，他也死于4月23日。
泰坦尼克号于1912年4月15日沉没。把整个日期加起来就是4 + 1 + 5 + 1 + 9 + 1 + 2 = 23。这里面多多少少有些人为选择的因素。
地球在其轨道平面上倾斜23.5度。我们可以把5看成是2 + 3，让这变得有趣一点。
阿雷西博信息（The Arecibo message）由1679比特组成，排列成73行，每行23个字符。当然，这是人类编造的，但它仍然很有趣。阿雷西博信息是一个从地球向太空发送的信息，以寻找智能生命。它总结了人类的生活。
人类有23对染色体。
前23个素数的总和是874，可以被23除以。
广岛原子弹是在8：15投下的。8 + 15 = 23。
23是由连续数字组成的最小的质数
圣殿骑士团有23位大师。
平均而言，人类的血液每23秒在全身循环一次。
π (π)和Tau (τ)
π是著名的无理数，表示圆的周长与半径之比。
如果我们画一个直径为1的圆，那么周长就等于3.14159……，用π来表示。它就是周长除以直径。现在，我们不需要回顾几何概念，所以，我给出π的一个性质：
它是无限不循环小数。
我为什么要把τ包括进来？一些数学家一直在争论π的用处，并提出τ，即τ = 2π。许多数学家认为τ更适合计算圆。当我们想要深入研究细节时，他们的直觉是正确的，但谁不喜欢π呢？
欧拉恒等式
把数学中一些最美丽的概念结合起来，就能得到如此简单的结果。让我们首先回顾一下我们讨论的是什么概念，以及我们如何将它们结合起来：
欧拉数e
单位虚数i
令人着迷的是，这三者共同组成一个方程式，如下面的方程式，给我们带来了简单的结果-1。
我们怎么从这三个数中得到-1的？
正如我们已经知道，i的平方为-1。欧拉运用泰勒级数与i的关系，得到了以下方程：
把上面的欧拉公式放在一个复平面上（有实数和虚数），我们得到一个圆。引入半径r，我们可以将这些点转变成另一种形式。如果我们假设x = π，那么我们会得到:
知道cos π = -1 sin π = 0，那么右边的i就会消失：
所以，我们也可以重新排列这个方程，使它更漂亮，加上另一个简单的数字：
数字6174
也被称为卡普雷卡的常数，如果你遵循以下步骤，这个数字有一个特殊的性质：
取任意四位数。
按降序和升序排列数字，得到两个新的四位数。
现在，用较大的数减去较小的数。
重做步骤2。
如果你重复多次，你总是会得到6174，这就是神奇的地方。为什么我们总是以这个数结束。以2714为例：
7421 -1247 = 6174
再以3687为例：
8763 -3678 = 5085；
8550 -0558 = 7992；
9972 -2799 = 7173；
7731 -1377 = 6354；
6543 -3456 = 3087；
8730 -0378 = 8352；
8532 -2358 = 6174
如果选择6174，那么会一直保持在6174，因为7641 -1467 = 6174。
它也是一个哈沙德数（ Harshad number），意味着它能被它的组成部分的和整除：6174 /(6 + 1 + 7 + 4)= 6174 / 18 = 343。
黄金比例
我们已经讨论过这个比例，但它可能是世界上最重要的比例。以下是它的特点：
0.618的倒数就是1 + 0.618。因此，1 / ϕ≈1 + ϕ
它出现在《自然》杂志上。一些树枝就是一个例子。主干将一直生长，直到产生一个分支，从而创建两个新的起点。其中一个起点会增加另外两个，而另一个不会。这种模式类似于斐波那契模式。
人们认为它代表着美，尽管这种观点尚未得到证实，但了解我们的头脑如何定义美仍然是一件有趣的事情。例如，脸。下面这段可能不是最准确的研究，但施密德博士把人的脸分为10个等级，10是最高的（最美的人），大多数人的得分在4到6之间。美的标准是，首先用脸部的长度除以宽度，最优结果为1.618。之后，还会计算出其他的比例，比如鼻底到下巴的比例。最后，进行对称测试以检查更多的美的指标。施密德博士说，除了其他特征外，在完美的脸上，耳朵的长度应该与鼻子的长度相等。
它出现在几何学中。许多建筑和艺术品都有黄金比例，希腊的帕台农神庙就是一个例子。这个方块里嵌着黄金比例。
数学中，很多数字隐含着惊人的信息，向人类传达自然宇宙的奥秘，下面将讨论自然界中13个迷人的数字。
阿列夫零（Aleph Null ℵ_0）
阿列夫零是一个美丽的概念。它是最小的无穷数。我知道你们在想什么，无穷应该只是一个概念，而不是一个具体的数字。毕竟，如果有一个无穷大大于另一个无穷大，第一个肯定不是无穷大。
让我们对无穷大有一个基本的概念（下面会讨论）。阿列夫零是有多少个自然数（0,1,2,3，……）。这个数字是无限的。
如果我们把所有的自然数数两到三遍会怎样？在数完第一遍之后，我们将按顺序得到超出自然数的数字。我们需要数的顺序，也就是序数。阿列夫零的下一个数字是ω，然后是ω + 1，它们不是基数，而是序数，也就是说，它们代表它们相对于横轴的位置。下图是一个简单的表示法。每个集合都可以表示存在的自然数集合，每个集合的势为ℵ_0。在第一个集合之后添加一个不会改变势。
把它们（势）看作序数会有帮助。因此，集合后的第一个序数超限数就是我们在上面讨论过的ω。
有趣的是，ω + 1不一定比ω大，它只是排在后面。这有点难以接受，以下是我们应该知道的：
无穷和阿列夫零是两个不同的东西。前者只是一个位于数字轴上的极端极限概念，而后者只是集合的大小（势）。
是集合的大小，基数表示数量(1，2，459，1002等)；序数表示顺序(第1，第2，第66等)。
正如有无限的基数，也有无限的序数，第一个无限（不可数）序数是我们在上面讨论过的，ω。
按照这个逻辑，阿列夫1是ω的基数。
阿列夫零只是众多“阿列夫”中的第一个。
无穷∞
这更像是一个想法或概念，而不是一个数字。这个符号通常被称为无穷∞。在讨论无穷大的特性和有趣的事实之前，有一件重要的事情是，数字π被认为是无穷大的一种形式。这里我们指的是点3.14159之后的数字范围……这就是为什么无穷大是一个概念，而不是我们能够量化的东西。另一个例子来自于美丽的分形领域。以简单的科赫雪花为例，它可以细分为无穷小的相同形状的雪花。
有趣的是，当我们想到无穷大时，我们想象的是一个不断增长的度量，但它并没有膨胀变大。
让我们来讨论两个与无限相关的简单话题。
0.99999 = 1吗？
很自然地，0.99999有无穷多个9，我们知道它等于1。用代数方法证明它也是可能的：
如果X = 0.9999，那么10 x = 9.9999
如果两边同时减去X，就得到
9x = 9.9999 -0.9999
9 x = 9
两边除以9
得到，X = 1
奇怪，是吧？
∞-∞= 0吗？
任何数字减去自身都是零。但无穷大不是一个数字。因此，让我们尝试一个测试：
假设，∞-∞= 0∞-∞+ 1= 0 + 1 #两边同时加1
∞-∞= 1 #知道∞+ 1 =∞，我们可以化简方程
剩下的是另一个结果。通过这个方法，我们可以得到∞-∞等于我们想要的任何数。因此，∞-∞的答案是没有定义的。
最后，我们还被告诫任何数都不能除以0。老师告诉我们1 / 0 = Undefined。直观地考虑一下，如果0个人除以1个苹果，需要多少人来覆盖整个苹果？自然地，它是一种永不崩溃的无限形式。
原来，1 / 0 =∞。为什么我们被教导结果是没有定义的呢？很简单，当1 除以一个无限小的整数趋于无穷时，很容易假设1 / 0 =∞。这里，无穷是正无穷。如果我们取趋近于0的小负数，我们也可以假设1 / 0 = -∞。那么，到底是哪一个呢？是1 / 0 =∞还是1 / 0 = -∞？答案是没有定义的。
下面是无穷的运算：
i
i指的是虚数。虚数的定义是它的平方是一个负数。我们知道两个相同符号的数字相乘总是会得到正的结果。但这并不能阻止我们创造一个公理，来阻止这些数字的存在。我们称它们为虚的，因为它们不应该存在。-6的平方根是多少？我们不知道。但数学的美妙之处在于，与其他科学工具不同，你可以假设事物存在。
虚数的概念很简单。我们可以假定它们存在。它们有什么作用？我们可以解一些需要负数平方根的方程。这里有一个例子：
根号4是多少？很简单，是2。
根号-4是什么？稍微复杂一点，答案是2i。
我们加上i表示虚数，使2的2次方等于-4。让我们来看看一个通常没有解的简单方程，看看它是如何用虚数解出来的:
显然，x的2次方永远不会得到负数（在我们的例子中是-1），所以我们假设答案乘以i。
就像数字1代表实数。虚数的其他用途是把它们和自然数结合成复数（例如7i + 12）。
古戈尔（Googol）
古戈尔等于1后面跟100个0，即：
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。
或者是：
大约是70!，即70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59 ....x1。
更复杂的是，有一个数字叫做“Googol plex”，它只是“Googol”的10次方，写法为：
有趣的是，谷歌公司是Googol名字的误拼。这个数字主要用于天文研究，如宇宙的大冻结。
数字9
这是我最喜欢的数字，我发现它在视觉和数学上都很漂亮。在几何学中，我们往往会发现它隐藏在很多地方，比如：
圆，它有360度（3 + 6 + 0 = 9）
把圆切成两半，每一半是180度（1 + 8 + 0 = 9）
把圆切成四等份，每个角是90度（9 + 0 = 9）
切成8份，每部分45度（4 + 5 + 0 = 9）
继续，16份，每部分22.5度（2 + 2 + 5 = 9）
继续，32份，每部分为11.25度（1 + 1 + 2 +5 = 9）
一个正方形，内角和是是90 × 4（360 = 3 + 6 + 0 = 9）
下面是图形和它们的角度。
从左上到下：五边形，八边形，十边形。
五边形= 108 = 1 + 0 + 8 = 9 // 72 = 7 + 2 = 9
八边形=135 =1 + 3 + 5 = 9 // 45 = 4 + 5 = 9
十边形= 144 = 1 + 4 + 4 = 9 // 36 = 3 + 6 = 9
同样，如果我们把9前面的数相加（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36）。然后，3 + 6 = 9。
把9和它前面的数字相乘，然后把它们的元素相加，结果总是9，例如：
9 x 1 = 9
9 x 3 = 27 = 2 + 7 = 9
9 x 7 = 63 = 6 + 3 = 9
9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9
这些数字除以9总是得到相同的数字，一直重复到无穷，例如：
1 / 9 = 0.11111
3 / 9 = 0.33333
7 / 9 = 0.77777
数字73
如果你是《生活大爆炸》的粉丝，那么你一定听过谢尔顿·库珀博士说过为什么73是完美的数字，下面是他的原话：
最好的数字是73。为什么？73是第21个质数。它的镜像，37，是第12个质数，是21的的镜像。而21，是7和3的乘积。在二进制中，73是回文“1001001”，倒着也是是1001001。
这些话出自《生活大爆炸》第四季第十集，而这一集恰好是该剧的第73集（也是饰演谢耳朵的男演员吉姆·帕森斯出生的那一年）。
欧拉数
e以莱昂哈德·欧拉的名字命名，是一个无理数，是自然对数的底数。已知欧拉数的精度约为1万亿位。可由以下公式得出：
当n趋于无穷时，我们对e的值有了更清晰的认识，当n = 100,000时，e = 2.71827。e有一个有趣的性质，它的斜率值就是它本身。它也被用于金融计算复利。
斐波那契序列
列奥纳多·斐波那契在观察兔子种群的同时，用简单的加法技术创造了我们宇宙中最迷人的数列之一。现在，一些证据表明，印度数学家事先就知道这个数列，我们坚持被广泛接受的事实，即斐波那契提出了这个数列。
斐波纳契数列可以用下面简单的公式得到（n＞2）：
得到了下面的无穷数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，....
这个数列的美妙之处在于它与自然有关。例如，出现在了开花的朝鲜蓟、一些花瓣如雏菊中。它甚至发生在星系螺旋中。
甚至有一个非常有趣的观察，基于事实表明，地球和月球的尺寸是ϕ的关系，比值是1.618。那么这个1.618是什么呢?
如果我们取序列中的任意两个连续数，它们的比值（Xn / Xn-1）接近于1.618，这就是我们所说的黄金比例：
3 / 2 = 1.5
13 / 8 = 1.666
55 / 34 = 1.61764
233 / 144 = 1.61805
317,811 / 196,418 = 1.61803
在无穷大时，比值接近1.618，也称为Phi （ϕ）。我们将在下面更详细地讨论ϕ。
23
很多人都看过电影《数字23》，金·凯瑞饰演的沃尔特·斯派洛是一个在一本书中读到数字23后对它着迷的人。人们认为这个数字神秘地与世界上许多事件吻合，虽然这可能是一个幻想性错觉的完美例子，但列出一些包含23的事件仍然很有趣：
如果我们把9/11悲剧事件的全部日期写成：9 + 11 + 2 + 0 + 0 + 1 = 23。当然，我们也可以这样：9 + 11 + 2001 = 2021。
根据生日悖论，23是随机选择的最少人数，以获得至少50%的概率，有至少两个人的生日相同。随机选择70个人，至少有两个人生日相同的概率是99.99%。
威廉·莎士比亚生于4月23日，巧合的是，他也死于4月23日。
泰坦尼克号于1912年4月15日沉没。把整个日期加起来就是4 + 1 + 5 + 1 + 9 + 1 + 2 = 23。这里面多多少少有些人为选择的因素。
地球在其轨道平面上倾斜23.5度。我们可以把5看成是2 + 3，让这变得有趣一点。
阿雷西博信息（The Arecibo message）由1679比特组成，排列成73行，每行23个字符。当然，这是人类编造的，但它仍然很有趣。阿雷西博信息是一个从地球向太空发送的信息，以寻找智能生命。它总结了人类的生活。
人类有23对染色体。
前23个素数的总和是874，可以被23除以。
广岛原子弹是在8：15投下的。8 + 15 = 23。
23是由连续数字组成的最小的质数
圣殿骑士团有23位大师。
平均而言，人类的血液每23秒在全身循环一次。
π (π)和Tau (τ)
π是著名的无理数，表示圆的周长与半径之比。
如果我们画一个直径为1的圆，那么周长就等于3.14159……，用π来表示。它就是周长除以直径。现在，我们不需要回顾几何概念，所以，我给出π的一个性质：
它是无限不循环小数。
我为什么要把τ包括进来？一些数学家一直在争论π的用处，并提出τ，即τ = 2π。许多数学家认为τ更适合计算圆。当我们想要深入研究细节时，他们的直觉是正确的，但谁不喜欢π呢？
欧拉恒等式
把数学中一些最美丽的概念结合起来，就能得到如此简单的结果。让我们首先回顾一下我们讨论的是什么概念，以及我们如何将它们结合起来：
欧拉数e
单位虚数i
令人着迷的是，这三者共同组成一个方程式，如下面的方程式，给我们带来了简单的结果-1。
我们怎么从这三个数中得到-1的？
正如我们已经知道，i的平方为-1。欧拉运用泰勒级数与i的关系，得到了以下方程：
把上面的欧拉公式放在一个复平面上（有实数和虚数），我们得到一个圆。引入半径r，我们可以将这些点转变成另一种形式。如果我们假设x = π，那么我们会得到:
知道cos π = -1 sin π = 0，那么右边的i就会消失：
所以，我们也可以重新排列这个方程，使它更漂亮，加上另一个简单的数字：
数字6174
也被称为卡普雷卡的常数，如果你遵循以下步骤，这个数字有一个特殊的性质：
取任意四位数。
按降序和升序排列数字，得到两个新的四位数。
现在，用较大的数减去较小的数。
重做步骤2。
如果你重复多次，你总是会得到6174，这就是神奇的地方。为什么我们总是以这个数结束。以2714为例：
7421 -1247 = 6174
再以3687为例：
8763 -3678 = 5085；
8550 -0558 = 7992；
9972 -2799 = 7173；
7731 -1377 = 6354；
6543 -3456 = 3087；
8730 -0378 = 8352；
8532 -2358 = 6174
如果选择6174，那么会一直保持在6174，因为7641 -1467 = 6174。
它也是一个哈沙德数（ Harshad number），意味着它能被它的组成部分的和整除：6174 /(6 + 1 + 7 + 4)= 6174 / 18 = 343。
黄金比例
我们已经讨论过这个比例，但它可能是世界上最重要的比例。以下是它的特点：
0.618的倒数就是1 + 0.618。因此，1 / ϕ≈1 + ϕ
它出现在《自然》杂志上。一些树枝就是一个例子。主干将一直生长，直到产生一个分支，从而创建两个新的起点。其中一个起点会增加另外两个，而另一个不会。这种模式类似于斐波那契模式。
人们认为它代表着美，尽管这种观点尚未得到证实，但了解我们的头脑如何定义美仍然是一件有趣的事情。例如，脸。下面这段可能不是最准确的研究，但施密德博士把人的脸分为10个等级，10是最高的（最美的人），大多数人的得分在4到6之间。美的标准是，首先用脸部的长度除以宽度，最优结果为1.618。之后，还会计算出其他的比例，比如鼻底到下巴的比例。最后，进行对称测试以检查更多的美的指标。施密德博士说，除了其他特征外，在完美的脸上，耳朵的长度应该与鼻子的长度相等。
它出现在几何学中。许多建筑和艺术品都有黄金比例，希腊的帕台农神庙就是一个例子。这个方块里嵌着黄金比例。
1\/2+x等于5\/6怎么解方程?
我们加上i表示虚数,使2的2次方等于-4。让我们来看看一个通常没有解的简单方程,看看它是如何用虚数解出来的: 显然,x的2次方永远不会得到负数(在我们的例子中是-1),所以我们假设答案乘以i。 就像数字1代表实数。虚数的其他用途是把它们和自然数结合成复数(例如7i + 12)。 古戈尔(Googol) 古戈尔等于1后面...
1\/2+x=5\/6解方程怎么算?
1\/2+x=5\/6解方程的答案是：x=2\/6。解：1\/2+x=5\/6 x=5\/6-1\/2 x=2\/6 一元一次方程的一般解法：1、去分母，方程两边同时乘各分母的最小公倍数。2、去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。3、移项，把方程中含...
二分之一加上x等于六分之五解方程
具体回答如下：1\/2+x=5\/6 两边乘6 3+6x=5 6x=5-3 6x=2 x=1\/3 解方程的意义：解方程免去了逆向思考的不易，可以直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。在数学中，一个方程是一个包含...
二分之一加x等于六分之五怎么解
解：根据题意，得 1\/2+x=5\/6 移项，得 x=5\/6-1\/2 合并同类项，得 x=1\/3
2分之1加x等于6分之5解方程
x=6分之二
1\/2+x=5\/6解方程。
x＝5\/6-3\/6 x＝2\/6 x＝1\/3
2分之1+x=6分之5 解方程?
x=1\/3
二分之一加x等于六分之五
二分之一加x等于六分之五 两边乘6 3+6x=5 6x=5-3 6x=2 x=1\/3
1\/2+x=5\/6
x=5\/6-1\/2=5\/6-3\/6=1\/3
