大一高数，求数学帝

Question

求详细过程

Answer 1

f(x)=ln(1+x^2) * 2/x,x≠0；0,x=0
f'(0)
=lim(x→0) [f(x)-f(0)] / (x-0)
=lim ln(1+x^2) * 2/x^2
利用等价无穷小：ln(1+x)~x
=lim 2x^2/x^2
=lim 2
=2

当x≠0
f'(x)
=[2*ln(1+x^2)/x]'
=2*[2x^2/(1+x^2) - ln(1+x^2)] / x^2
=4/(1+x^2) - 2ln(1+x^2) / x^2
因此，
f'(x)=4/(1+x^2) - 2ln(1+x^2) / x^2,x≠0；2,x=0

当x≠0时，明显f'(x)连续
当x=0时，
lim(x→0) f'(x)
=lim 4/(1+x^2) - 2ln(1+x^2) / x^2
=lim 4/(1+x^2) - lim 2ln(1+x^2) / x^2
利用等价无穷小：ln(1+x)~x
=4 - lim 2x^2/x^2
=4-2
=2
=f'(0)
根据连续的定义，f'(x)在x=0处连续
因此，f'(x)连续

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