大一高等数学里求不定积分，感觉没有什么思路！在遇到的各种问题时，可以分成几大类啊？

Question

对于每一种类型的问题又应该怎样解决？望各位高手解答！

Answer 1

1：利用积分表，根据公式解积分，基本公式∫ x^n dx = x^(n + 1)/(n + 1) + C
2：换元积分法，分为两种
第一换元积分法，即令u = x²、u = √x、u = 6z、u = (x - 1)^(1/3)等
第二换元积分法，即令x = 2sinθ、x = 7cosθ，x = 5secθ，主要用于√(a² ± x²)、√(x² - a²)消除根号之用
3：分部积分法，∫ udv = uv - ∫ vdu，其中函数u比函数v更复杂，u比v更难进行积分
4：有理积分法，分为两种
第一：将一个大分式分裂为几个小分式，例如1/(x² - 1) = 1/[2(x - 1)] - 1/[2(x + 1)]
通常用待定系数法，即令1/(x² - 1) = A/(x - 1) + B/(x + 1)，然后解出A及B
第二：万能公式，对于分式有三角函数时用到，主要将三角函数化为有理函数后再积分
令u = tan(x/2)，dx = 2du/(1 + u²)，sinx = 2u/(1 + u²)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)

如果是定积分的话就更多更难了。

追问

为什么定积分更难？

追答

定积分有更多公式：
第一：用微积分基本公式，∫(a→b) f(x) dx = F(b) - F(a)
这里F(x)是f(x)的原函数，即先求出不定积分，然后再代入上限和下限
这里已经包含了所有不定积分的求解技巧。
第二：假变量，∫(a→b) f(x) =dx = ∫(a→b) f(u) du = ∫(a→b) f(z) dz
只要上限和下限在不变的情况下，变量可随意更换。
第三：∫(a→a) f(x) dx = 0，当下限和上限相同时，包围的面积等于0
第四：分裂性：∫(a→b) f(x) dx = ∫(a→c) f(x) dx + ∫(c→b) f(x) dx，c∈[a，b]
第五：奇偶性，若f(x)是奇函数，则∫(- a→a) f(x) dx = 0，f(- x) = - f(x)
若f(x)是偶函数，则∫(- a→a) f(x) dx = 2∫(0→a) f(x) dx，f(- x) = f(x)
第六：周期性，对于周期为T的函数，∫(0→nT) f(x) dx = n∫(0→T) f(x) dx，n为正整数
第七：换元积分法，注意上下限有转变的。
若u = g(x)，则∫(a→b) f(g(x)) * g'(x) dx = ∫(g(a)→g(b)) f(u) du
第八：分部积分法，∫(a→b) f(x) d[g(x)] = [f(x)g(x)] |(a→b) - ∫(a→b) g(x) d[f(x)]
第九：用定义法：∫(a→b) f(x) dx = lim(Δx→0) Σ(k=1→n) [(b - a)/n]f[a + (b - a)/n]，或用级数解
第十：瑕积分，若上限或下限或两者都是无穷时，有
∫(-∞→b) f(x) dx = lim(a→-∞) ∫(a→b) f(x) dx
∫(a→+∞) f(x) dx = lim(b→+∞) ∫(a→b) f(x) dx
∫(-∞→+∞) f(x) dx = ∫(-∞→c) f(x) dx + ∫(c→+∞) f(x) dx
= lim(a→-∞) ∫(a→c) f(x) dx + lim(b→+∞) ∫(c→b) f(x) dx
※瑕积分可能不存在，即发散。
第十一：借助参数，求导。例如∫(0→π) xsinx/(5 - 4cosx) dx，令f(t) = ln(5 - tcosx)
第十二：借助、扩充到二重积分。例如∫(0→+∞) e^(- x²) dx
第十三：过程中可能会化为超越函数比较方便，例如Gamma函数、Beta函数、椭圆函数等。
第十四：某些定积分不能用普通方法解出，需用特殊方法，例如扩充到复平面，用留数定理。
或者用拉普拉斯变换(Laplace Transform)等，当然要符合一定的要求才能用。定积分的几何意义就是曲线包围的面积，除了不存在的瑕积分外，即使原函数不能求得，也一定有答案。

追问

哇，看来我得加倍努力了！谢谢

Answer 2

1.直接积分法 逆反使用求导公式
2.换元积分法 分2类。凑微分法和换元法
3.分部积分法
4.有理式积分法

Answer 3

有换元、分部、有理函数等积分方法，关键是要具体问题具体分析。

Answer 4

难道是太简单了