线性代数问题

Question

已知向量组a1，a2，，，an线性无关，向量b1=a1+2a2，b2=a2+2a3，，，bn-1=an-1+2an，bn=an
试证b1，b2，，，bn线性相关

感觉应该是线性无关才对啊。。。求解释

Answer 1

（Ⅰ）因为{an}是等比数列，{bn}是等差数列，所以可把b2，b3，b4都用b1和d表示，a2，a32都用a1和q表示，再根据a1=2，a3=18，求出q，根据b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20求出d，就可得到数列{bn}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所得{an}和{bn}的通项公式，可知数列{cn}是等差数列与等比数列的和构成的数列，所以可分别求出{an}和{bn}的前n项和，再相加，就是数列{cn}的前n项和Sn．
解答：解：（Ⅰ）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2=a3a1=9，q=±3．
当q=-3时，a1+a2+a3=2-6+18=14＜20，
这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．
当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意．
设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+4×32d=26．
又b1=2，解得d=3，所以bn=3n-1．
（Ⅱ）Sn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）
=a1(1-qn)1-q+(nb1+n(n-1)2d)
=2×(1-3n)1-3+(2n+n(n-1)2×3)
∴数列{cn}的前n项和Sn=3n+32n2+12n-1
点评：本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式，前n项和公式的求法，对一些常用公式要熟

追问

请别捣乱

追答

知道了

Answer 2

证明: (b1,b2,...,bn)=(a1,a2,...,an)K
其中 K=
1 0 ... 0 0
2 1 ... 0 0
... ...
0 0 ... 1 0
0 0 ... 2 1

|K|=1, K可逆, 故 r(b1,b2,...,bn)=r(a1,a2,...,an)=n所以 b1,b2,...,bn 线性无关.

Answer 3

我也觉得是线性无关的,向量组b可以写成向量组a和一个满秩矩阵的成绩