图形的位置关系【2. 图形位置关系】

Answer 1

图形位置关系

【专题诠释】

在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形、正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。从题目本身来看, 一般都是采取很标准的两问式. 第一问证明切线, 考察切线判定定理以及切线性质定理及推论, 第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值, 求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。至于其他图形位置关系, 我们将会在后面的专题中涉及到.

【例题讲解】

【例1】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =

1

，求⊙O 的直径． 2

A

【思路分析】近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD ，在△ABC 中OD 就是中位线，平行于BC 。所以利用垂直传递关系可证OD ⊥DE 。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC 是等腰三角形，从而将求AB 转化为求BD ，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】

（1）证明：联结OD ． ∵ D为AC 中点， O为AB 中点，

∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°. A ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.

∴ DE为⊙O 的切线．

（2）解：联结DB ． ∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ∵ D为AC 中点， ∴AB=AC．

在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=由勾股定理得：

DC=

1DE ， ∴EC==4. （三角函数的意义要记牢） 2tan C

在Rt△DCB 中，

BD=DC ⋅tan C = BC=5. ∴AB=BC=5.

∴⊙O的直径为5.

【例2】已知：如图， O 为∆ABC 的外接圆，BC 为 O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分∠CBF ，过点A 作AD ⊥BF 于点D .

（1）求证：DA 为 O 的切线； （2）若BD =1，tan ∠BAD =

F 1

，求 O 的半径. 2

C

【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分∠CBF 。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA 之后发现∠ABD=∠ABC ，而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO ，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD 通过等量关系放在△ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。 【解析】证明：连接AO .

∵ AO =BO ， ∴ ∠2=∠3. ∵ BA 平分∠CBF ， ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠3=∠1 .

∴ DB ∥AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD ⊥DB ,

∴ ∠BDA =90. ∴ ∠DAO =90. ∵ AO 是⊙O 半径，

∴ DA 为⊙O 的切线. （2）∵ AD ⊥DB , BD =1，tan ∠BAD =∴ AD =2.

由勾股定理，得AB ∴

sin ∠4=

. （通过三角函数的转换来扩大已知条件） F

C

1， 2

∵ BC 是⊙O 直径，

∴ ∠BAC =90. ∴ ∠C +∠2=90. 又∵ ∠4+∠1=90, ∠2=∠1,

∴ ∠4=∠C . （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD ）

在Rt △ABC 中，BC =∴ O 的半径为

5. 2

AB AB

==5. sin C sin ∠4

【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B

在⊙O 上，且OA =AB =AD . （1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交

于点F ，且BE =

8，tan ∠BFA =求⊙O 的半径长.

C

【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。 【解析】（1）证明：连接OB .

∵OA =AB , OA =OB ， ∴OA =AB =OB .

∴∆ABO 是等边三角形.

∴∠BAO =∠1=60. ∵AB =AD ， ∴∠D =∠2=30.

∴∠1+∠2=90.

∴DB ⊥BO . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 .

（2）解：∵CA 是⊙O 的直径， ∴∠ABC =90.

在Rt △

ABF 中，tan ∠BFA =

∴设AB ,

AB =BF C

则BF =2x ，

∴AF =3x . ∴

BF 2

= . （设元的思想很重要） AF 3

∵∠C =∠E , ∠3=∠4, ∴∆BFE ∽ ∆AFC . ∴

BE BF 2

== .

AC AF 3

∵BE =8, ∴AC =12 .

∴AO =6. „„„„„„„„„„„„„„„5分

【例4】如图，等腰三角形ABC 中，AC =BC =6，AB =8．以BC 为直径作 O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是 O 的切线； （2）求sin ∠E 的值．

【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF 是切线，则需证OD 垂直于EF ，但是本题中并未给OD 和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD ，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC 是以AC,CB 为腰的等腰三角形，从而得出D 是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT 三角形当中构造代数关系，通过解

A 方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。

【解析】（1）证明：如图，连结CD ，则∠BDC =90．

F

∴CD ⊥AB ．D

∵ AC =BC ，∴AD =BD ． G ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点， ∴DO ∥AC ． E B O C ∵EF ⊥AC 于F ． ∴EF ⊥DO ．

∴EF 是 O 的切线．

( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴∠BGC =90=∠CFE ．（直径的圆周角都是90°） ∴BG ∥EF ．

FC CG

∴sin ∠E =． =

EC BC

设CG =x ，则AG =6-x ．

在Rt △BGA 中，BG 2=BC 2-CG 2． 在Rt △BGC 中，BG 2=AB 2-AG 2．（这一步至关重要，利用两相邻RT △的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）

222

∴62-x 2=82-(6-x )．解得x =．即CG =．

33

在Rt △BGC 中．

2CG 1

==． ∴ sin ∠E =

BC 69

【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .

（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论；

（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.

F A D

B C G

【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。 【解析】

（1）结论：GD 与 O 相切 证明：连接AG ∵点G 、E 在圆上， ∴AG =AE ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC

∠2=∠3 ∴∠B =∠1，∵AB =AG

∴∠B =∠3

∴∠1=∠2 （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引） 在∆AED 和∆AGD

E

E

⎧AE =AG ⎪

⎨∠1=∠2 ⎪AD =AD ⎩

A

12G

F 5C

D

∴∆AED ≌∆AGD ∴∠AED =∠AGD ∵ED 与 A 相切 ∴∠AED =90 ∴∠AGD =90 ∴AG ⊥DG

∴GD 与 A 相切

（2）∵GC =CD =5，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB =DC ，∠4=∠5，AB =AG =5 ∵AD ∥BC ∴∠4=∠6

B

1

∴∠5=∠6=∠B

2

∴∠2=2∠6 （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT 三角形中就产生了30°和60°的特殊角） ∴∠6=30

∴AD =10 .

【总结】我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。

第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。

第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题， 如图△ABC 中，AB=AC，点O 是BC 的中点，与AB 切于点D ，求证：与AC 也相切。

该题中圆0与AC 是否有公共点是未知的，所以只能通过O 做AC 的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC 与圆交点这样证明，就误入歧途了。

第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：如图，中，AB=AC，=，O 、D 将BC 三等分，以OB 为圆心画，求证：与AC 相切。

本题中并未说明一定过A 点，所以需要证明A 是切点，同时还要证明O 到AC 垂线的垂足和A 是重合的，这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接AO 之后再证明AO=OB，AO ⊥AC ，那么就非常严密了。

（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO ，BO 都用AB 表示出来即可证明相等，而△AOC 中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。

至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT △当中就可以非常方便的求解。

总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间

【过手训练】

1．如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.

证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°. ∴ ∠EAB +∠E =90°.

∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ，

∴ ∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线.

（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.

∵ AE =2AO =6, AB =4,

∴ BE =AE 2-AB 2=25. ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ cos ∠BAD =cos ∠E .

AB BE ∴ =.

AD AE

即

42=. AD 6

12∴ AD =.

5

2．已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交 ⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .

（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径等于4，tan ∠ACB =解：（1）直线BD 与⊙O 相切． 证明：如图3，连结OB ．-

∵ ∠OCB =∠CBD +∠D ，∠1=∠D ， ∴ ∠2=∠CBD ． ∵ AB ∥OC ， ∴ ∠2=∠A ． ∴ ∠A =∠CBD ． ∵ OB=OC，

∴ ∠BOC +2∠3=180， ∵ ∠BOC =2∠A ，

∴ ∠A +∠3=90． ∴ ∠CBD +∠3=90． ∴ ∠OBD =90°．

∴ 直线BD 与⊙O 相切．

4

，求CD 的长. 3

D

（2）解：∵ ∠D =∠ACB ，tan ∠ACB =∴ tan D =

4． 3

4， 3

在Rt △OBD 中，∠OBD =90°，OB = 4，tan D =∴ sin D =

4OB ，OD ==5． 5sin D

4

， 3

∴ CD =OD -OC =1．

3．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M, 经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G , 交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切；

1

时，求⊙O 的半径. 3

1）证明：连结OM ，则OM =OB ． ∴∠1=∠2．

∵BM 平分∠ABC ． ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3． ∴OM ∥BC ．

∴∠AMO =∠AEB ．

在△ABC 中，AB =AC ，AE 是角平分线， ∴AE ⊥BC ． ∴∠AEB =90°． ∴∠AMO =90°． ∴OM ⊥AE ． ∴AE 与⊙O 相切．

（2）解：在△ABC 中，AB =AC ，AE

1

∴BE =BC ，∠ABC =∠C ．

2

1

cos C =， ∵BC =4，

3

1

cos ∠ABC =． ∴BE =1，

3

在△ABE 中，∠AEB =90°，

BE

=6． ∴AB =

cos ∠ABC

设⊙O 的半径为r ，则AO =6-r ． ∵OM ∥BC ，

∴△AOM ∽△ABE ． OM AO

=∴． BE AB r 6-r ∴=． 26

（2）当BC=4,cosC=

B

解得r =

3． 2

3． 2

∴⊙O 的半径为

4．如图，等腰△ABC 中，AC=BC，⊙O 为△ABC 的外接圆，

上一点， CE ⊥AD 于E . D 为BC

求证：AE= BD +DE．

证明：如图3，在AE 上截取AF=BD，连结CF 、CD ．

在△ACF 和△BCD 中，

⎧AC =BC , ⎪⎨ ∠CAF =∠CBD , ⎪ AF =BD , ⎩

∴ △ACF ≌△BCD ． ∴ CF=CD.

∵ CE ⊥AD 于E ，∴ EF=DE. ∴ AE =AF +EF =BD +DE .

5．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB

AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．

（1） 求证：DE 是⊙O 的切线；

（2） 若

AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长． 证明：（1）连接OC,

AE ⊥CD , CF ⊥AB , 又 CE =CF , ∴∠1=∠2. OA =OC , ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴OC //AE . ∴OC ⊥CD . ∴DE 是 O 的切线.

A D

(2)解： AB =6, ∴OB =OC =

1

AB =3. 2

在Rt ∆OCD 中，OC =3, OD =OB +BD =6, 在Rt ∆ADE 中， AD =AB +BD =9, ∴AE =

19AD =22

在∆OBC 中， ∠COD=600, OB =OC

∴∠D =300. ∠COD =600.

∴BC =OB =3.

【拓展训练】

1．（2011江苏南京）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的

中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s．

⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．

(第26题)

【解题思路】直线与圆的位置关系既是指相交、相切、相离，判断的依据是直线与圆习的距离，所以只要求出当t=1. 2时圆心P 与直线AB 的距离就可以了；两圆的位置关系有多种，因为点P 在圆内，所以内含、相交、内切就行了，判断的依据是两圆心间的距离，同时要注意存在的多种可能，做到答案的全面性。 【答案】⑴直线AB 与⊙P 相切．

如图，过点P 作PD ⊥AB , 垂足为D ． 在Rt △A BC 中，∠ACB ＝90°，∵AC =6cm，BC =8cm，

∴AB =10cm ．∵P 为BC 的中点，∴PB =4cm．

∵∠P DB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ．∴△PBD ∽△ABC ．

∴PD PB PD 4==, 即，∴PD =2.4(cm) ． AC AB 610

当t =1.2时，PQ =2t =2.4(cm)

∴PD =PQ ，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径．

∴直线AB 与⊙P 相切．

⑵ ∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径．∴OB =

连接OP ．∵P 为BC 的中点，∴OP =1AB =5cm ． 21AC =3cm ． 2

∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切．

∴5-2t =3或2t -5=3，∴t =1或4．

∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4．

2．如图所示, AC 为⊙O 的直径, 且P A ⊥AC , BC 是⊙O 的一条弦, 直线PB 交直线AC 于点D , ==. DP DO 3

(1)求证:直线PB 是⊙O 的切线； P (2)求cos ∠BCA 的值. B

D A C O

【解题思路】第(1)小题要证切线, 须连半径, 证垂直. 连接OB 、OP , 证明∆BOP ≌∆AOP 即可；

第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求∠POA 的余弦值, 在Rt ∆POA

中, 设出PA =a , 根据已知条件用含a 的代数式表示边OA 、OP 的长, 再利用三角

函数求之.

【答案】(1)证明:连接OB 、OP ………………………………………………………(1分) ∵== 且∠D =∠D DP DO 3

∴△BDC ∽△PDO

P ∴∠DBC =∠DPO

B ∴BC ∥OP

∴∠BCO =∠POA

∠CBO =∠BOP D A C O ∵OB =OC

∴∠OCB =∠CBO

∴∠BOP =∠POA

又∵OB =OA OP =OP

∴△BOP ≌△AOP

∴∠PBO =∠P AO

又∵P A ⊥AC

∴∠PBO =90°

∴直线PB 是⊙O 的切线 …………………………………(4分)

(2)由(1)知∠BCO =∠POA

设PB =a , 则BD =2a

又∵PA =PB =a

11

∴AD =

又∵BC ∥OP ∴DC =2

∴DC =CA =⨯=

2

∴OA

∴OP = ∴cos

∠BCA =cos∠POA ……………………………………… 家庭作业

（2011湖南永州）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ．

⑴求证：BE 是⊙O 的切线；

⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．

B

【解题思路】：（1）要证BE 是⊙O 的切线，需要证∠OBE=90°. 根据AB 是半圆O 的直径，可得∠ACB=90°，推出∠CAB+∠ABC=90°，再由平行得∠CAB=∠EOB, ∠OEB=∠ABC ，可得∴∠BOD+∠OEB=90°，所以∴∠OBE=90°；（2）要求BE 的长，先根据勾股定理求出AB 的长，再利用锐角三角函数或相似求出BE 的长.

【答案】证明：⑴∵AB 是半圆O 的直径 ∴∠ACB=90°

∵OD ∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90°

又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90°

∵AB 是半圆O 的直径 ∴BE 是⊙O 的切线

⑵在Rt ∆ABC 中，AB=2OA=20，BC=16，∴AC =AB 2-BC 2=202-162=12 ∴tan A =

∴BE =

（第25题图） BC 164BE 4== ∴tan ∠BOE == AC 123OB 3441OB =⨯10=13．

333

12