两道基础线代题，在线等

Question

1.如果A是方矩阵，A^2=i，证明A是否正交

2.A是6×6矩阵，A^2=0，证明是否rank(A)≤3

Answer 1

1.因为A^2=A*A'=I（A'为A的转置，I为单位矩阵），在式A*A'=I两边左乘（A的逆矩阵），得到A‘=A的逆矩阵，所以A为正交阵。
2.因为A^2=A*A'=0（A'为A的转置），设A矩阵的第k行元素分别为ak1,ak2,ak3,ak4,ak5,ak6(其中k为行下标，且取值为1到6)，由此可得A*A'的第1行第1列元素为(a11)^2+(a12)^2+(a13)^2+(a14)^2+(a15)^2+(a16)^2，这个平方和为0，故a11，a12，a13，a14，a15，a16都为0，即A矩阵的第1行元素都为0；同理有A*A'的第2行第2列元素为0，得到A矩阵的第2行元素都为0，依次可得，A矩阵全部元素都为0，即A为零矩阵，所以A的秩为0，显然rank(A)≤3。

Answer 2

1，显然是，由条件A显然可逆，而A的逆矩阵=A转置，有正交阵定义就可证明出来。2，A*A为0矩阵，说明A的秩的2倍<=6，所以A的秩小于等于3。不清楚的可以看看书上定义。

Answer 3

A的秩为0，显然rank(A)≤3。