一阶齐次微分方程

Answer 1

形如y'=f(y/x)的一阶微分方程，称为齐次一阶微分方程。齐次微分方程是一个微分方程，如果它的一个解乘以任意常数后，仍是它的解，则称为齐次微分方程。对一阶线性微分方程来说，右端(即不含未知函数及其导数的项)不为零的方程y′+p(x)y= q(x)称为非齐次方程；与此对应的，右端q(x)=0的方程y′+p(x)y=0，称为对应的齐次方程。此外，当微分方程的左端是以自变数，未知函数作为变元的齐次函数时，也称为齐次方程。
如果对任何都有，则称是x和y的齐次函数，如果取，则。这就是说齐次函数可改写为的形式。
一阶微分方程(其中，为齐次函数)就叫做齐次(一阶微分)方程。或者说，方程

是齐次方程。此外，如果在微分方程的每一项中，因子x和y的幂次的总和都是相等的，则该方程就是齐次方程。
例如

都是齐次方程。事实上，式(2)各项同除x，式(3)各项同除以，则式(2)和(3)可分别化为

或

和

或

另外，方程

也是齐次方程。事实上，方程(4)右端分子和分母同除以x，则得到齐次方程[1]

一般解法
关于齐次方程的一般解法如下[1] ：
令所以，代入方程(1)，得

即有

方程(2)为可分离变量方程，于是

方程(3)两端积分，得

上述等式可改写为

把代入式(4)，则得到方程(1)的隐式通解

例1求方程的通解。
解：方程，令，所以，于是方程变为，即，所以。积分得通解，即。也可以把方程的隐式通解改写为显式通解。事实上，因为，所以。

Answer 2

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