1. 由于题目叙述已默认f(x)在[a,b]可导, 所以f(x)连续是显然的.
2. 但是f'(x)可以不是连续的, 一个反例为:
在x ≠ 0处取f(x) = x²·sin(1/x)+3x, 并取f(0) = 0.
于是在x ≠ 0处, f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x)+3,
而f'(0) = lim{x → 0} f(x)/x = 3+lim{x → 0} x·sin(1/x) = 3, 因此f(x)处处可导.
但易见lim{x → 0} f'(x)不存在, 故f'(x)在x = 0处不连续.
另一方面, 在[-1,1]上显然成立f'(x) > 0, 故f(x)严格单调.
又f'(x)只有一个不连续点x = 0, 因此是Rimann可积的.
综上, f(x)在[-1,1]严格单调, 处处可导, 且f'(x)Riemann可积, 但f'(x)不连续.
3. 关于你原本的问题, 定积分换元公式: ∫{φ(a),φ(b)} f(x)dx = ∫{a,b} f(φ(t))φ'(t)dt.
成立的条件主要有以下几种:
1) φ(t)在[a,b]上有连续导函数, f(x)在φ([a,b])上连续.
这个条件主要是方便用Newton-Leibniz公式证明.
2) φ(t)在[a,b]上单调, 并有连续导函数, f(x)在φ([a,b])上Riemann可积.
证明要从Riemann积分的定义出发, 借助微分中值定理表达左端的Riemann和.
在证明中, φ'(t)的连续性有助于简便的估计误差.
3) φ(t)在[a,b]上单调, 可导且φ'(t)在[a,b]上Riemann可积, f(x)在φ([a,b])上Riemann可积.
证明思路与上面基本一致, 但因为条件减弱了, 估计误差时要麻烦一点.
另外, 在这个证明中是不需要(也不可能)证明φ'(t)连续的.
闭区间【a,b】上,f(x)严格单调,f‘(x)黎曼可积,怎么说明f(x)与f...
另一方面, 在[-1,1]上显然成立f'(x) > 0, 故f(x)严格单调.又f'(x)只有一个不连续点x = 0, 因此是Rimann可积的.综上, f(x)在[-1,1]严格单调, 处处可导, 且f'(x)Riemann可积, 但f'(x)不连续.3. 关于你原本的问题, 定积分换元公式: ∫{φ(a),φ(b)} f(x)dx = ∫{...
若函数f(x)在[a,b]上有界,且有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上...
有界在你的上下文中，指的是存在一个正数M, 对所有x, a<=x<=b，都有 |f(x)| < M 第一类间断点指的是左右极限都存在的间断点。这个论断的含义是，如果函数在闭区间[a,b]上既不会有无穷大的极限点，又不会有激烈的振荡，那么通过不断细分区间、用小矩形面积之和逼近函数图形下的面积，是...
可积一定有定义吗
可积函数的定义强调了函数在特定区间上的性质，具体而言，函数必须满足以下条件之一：有界，连续，或仅有有限个间断点。这些条件保证了函数在闭区间上能够进行积分操作。如果函数f(x)在闭区间【a,b】上的定积分存在，我们说f(x)在【a,b】上可积。这进一步强调了可积性的定义和条件。在数学分析中，...
设f(x),g(x)在[a,b]上黎曼可积,证明f(x)g(x)在[a,b]上黎曼可积
自己看图
对变上限积分函数求定积分
解答：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。黎曼积分 定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象...
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黎曼可积黎曼积分
S是函数f在闭区间[a, b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在δ > 0，使得对于任意的取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和就会趋向于一个确定的值，这意味着f在闭区间[a, b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限。此时，称函数f为黎曼可积的。
设f(x)在a到b闭区间上严格单调,xn为此区间的数列,f(xn)在n趋于无穷等 ...
假设xn不趋于b，有两种可能 xn无极限 xn趋向于c(c≠b)对于1，如果xn无极限，则xn只能在[a,b]区间内摆动，又f(x)是严格单调的，所以f(x)也会摆动，无法收敛与f(b),所以第一种不可能。对于2，更显然，如果xn趋于c，则f(xn)趋于f(c),不等于f(b)所以假设不成立。即命题成立。()
可积是什么的意思?
可积一般就是指，可积函数；如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。可积函数 数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积...
证明:在【a,b】上黎曼可积函数必存在连续点
证明：f（x）黎曼可积，则[a,b]中不连续点为一零测集，记为A,于是[a,b]-A中均为连续点，x∈[a,b]-A为连续点,即证存在点x∈【a，b】，f（x）在该点连续.回答的不详细，欢迎追问，希望对你有所帮助。
