(急）极限问题

Question

极限问题困扰了我，让我怎么想也想不通，也许我理解有问题吧，请大家能详细给我说下，谢谢了,我比较笨的。
求极限:limx→o(1+2x)^1/x;
limx→∞2^nsinx/2^n(x≠0);
limx→0sinax/sinβx(β≠0);
用连续性求极限:lima→π/4(sin2a)^3;
limx→0lnsinx/x;
请大家能详细给我说下，谢谢

Answer 1

前三题考查了两个重要极限（注：这两个重要极限是需要记住的）
①limx→0 sinx/x=1 （证明这个等式运用到了夹逼准则）
②limx→∞ (1+1/x)^x=e （证明这个等式运用到了单调有界准则）
另外用到了等价无穷小：若lim β/a=1 ==> a ~ β

limx→0 (1+2x)^1/x
=limx→0 [(1+2x)^(1/2x)]^2
=[limx→0 (1+2x)^(1/2x)]^2 {极限运算法则}
=e^2

limx→∞ 2^nsinx/2^n(x≠0);
题目应该是：（否则没必要说x≠0）
limx→∞ 2^n/x sinx/2^n(x≠0)
=limx→∞ (sinx/2^n)/(x/2^n)
=1

我在我的教科书上看到过和你类似的这么一题：
limn→∞ 2^nsinx/2^n(x≠0，x是常数)
=limn→∞ x (sinx/2^n) / (x/2^n)
=x limn→∞ (sinx/2^n) / (x/2^n) {极限运算法则}
=x

limx→0 sinax/sinβx(β≠0)
由 limx→0 sinx/x=1 可知 sinax ~ ax sinβx ~ β
所以，原式=limx→0 ax/ βx
=limx→0 a/ β
=a/ β

注意：对于这两个重要极限可以通过大量的练习来掌握。

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极限的连续性：
limx→x0 f(x) = f(x0)
limx→x0 f[g(x)] = f[limx→x0 g(x)]
（f(x)在点x0连续，那么求f(x)当x→x0的极限只要求f(x)在x0的函数值就行了）
①基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。
②一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

lima→π/4 (sin2a)^3
=sin(2 * π/4)^3
=1

limx→0 lnsinx/x
=ln (limx→0 sinx/x)
=0

Answer 2

1,limx-0(1+2x)^1/x (把1/x =2/2x )
=[lim(1+2x)^1/2x]^2
=[e]^2
2 limx-00 2^nsinx/2^n ?
3lim x--0sinax/sinbx =limax/bx =a/b 等价无穷小
4lim(sinpi/2)^3=1
lnlimsinx/x=ln1 =0两个重要极限 。。。