常用数列求和公式及其推导

Question

要全面,常见的就可以了
不对,还差很多,也不需要打这些
推倒也没有
我说的是类型,你说的是基本
比如说数列f(n)=1+(1+2)+...+(1+2+3+....+n)的求法及其过程
我不是说这一个,高中能接触到的,大概7,8个,打清楚些,谢谢

Answer 1

1.等差数列
【通项公式】
an=a1+(n-1)d
an=Sn-S(n-1) (n>=2)
【前n项和】
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
2.等比数列
【通项公式】
an=a1q^(n-1)
an=Sn/S(n-1) (n>=2)
【前n项和】
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
3.斐波那契数列
【通项公式】
an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
【前n项和】
Sn=(1/√5)* [((1+√5)/2 )^(n+2)-[((1-√5)/2 )^(n+2)]-1
4.大衍数列
【通项公式】
an=(n^2-1)/2 (n=2k-1，k∈N)
an=n^2/2 (n=2k，k∈N)
【前n项和】
Sn=(n-1)(n+1)(2n+3)/12 (n=2k-1，k∈N)
Sn=n(n+2)(2n-1)/12 (n=2k，k∈N)

Answer 2

高中的有很多的啊，你现在是不是还是高一啊
想数列的话你看是看不出他的通项的。要从几个数当中挑出来看，把他套到公式里。最常用的是Sn-Sn-1=?.有时第一个数就不是数列里面的

Answer 3

谢谢 离合似梦

Answer 4

http://hi.baidu.com/ggggwhw/blog/item/9acd26fb9972f916a9d3119e.html
请看这篇文章
里有详细介绍,等差,等比,很熟悉就不介绍了,这里介绍了一些新的求证方法
计算∑[∑[i,{i,1,j}],{j,1,n}],
即(1)+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n),

这是别人的一种算法:

1+(1+2)+(1+2+3)+...........+(1+2+3+........+n)
=[1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)]/2
=[1*2*3+2*3*3+3*4*3+....+n(n+1)*3]/(2*3)
={1*2*3+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/6
=[1*2*3+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/6
=n(n+1)(n+2)/6 .

下面是我的想法,如图所示,每个正方形边长为1,相当于求该图形的层数为n时的体积v[n],当层数n增加时,在三维直角坐标系下,长宽高与n成正比增加,于是体积v[n]应该是n的三次函数,
于是设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
代入n=1,2,3,4得
1=a+b+c+d,
4=8a+4b+2c+d,
10=27a+9b+3c+d,
20=64a+16b+4c+d,
解得a = 1/6, b = 1/2, c = 1/3, d = 0,
于是
(1)+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n)
=n^3/6+n^2/2+n/3
=1/6 n (1 + n) (2 + n)
类似的办法计算:
1^2+2^2+3^2+...+n^2,相当于计算下面图形的体积,
设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
代入n=1,2,3,4得
1=a+b+c+d,
5=8a+4b+2c+d,
14=27a+9b+3c+d,
30=64a+16b+4c+d,
解得a = 1/3, b = 1/2, c = 1/6, d = 0,
于是
1^2+2^2+3^2+...+n^2
=n^3/3 + n^2/2 + n/6
=1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)

类似的办法计算:
1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2,相当于计算下面图形的体积,
设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
代入n=1,2,3,4得
1=a+b+c+d,
10=8a+4b+2c+d,
35=27a+9b+3c+d,
84=64a+16b+4c+d,
解得a = 4/3, b = 0, c = -1/3, d = 0,
于是
1^2+3^2+5^2+...+n^2
=4/3*n^3 - n/3
=1/3 n (2 n - 1) (2 n + 1)

当然这样得到的结果都是正确的,但是要证明它的正确性还需要用数学归纳法,或者其它办法.

Answer 5

自然数列求和：
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
奇数数列求和：
1+3+5+...+(2n+1)=n^2
偶数数列求和：
2+4+6+...+2n=n(n+1)
等差数列求和：
a1+a2+a3+...+an=n(a1+an)/2
等比数列求和：
a1+a2+...+an=(a1-an*q)/(1-q)