具体数学-第13课（组合数各种性质）

Answer 1

恭喜本人顺利毕业，忙完论文答辩后，上周未能更新具体数学课程，现补上相关内容，望大家见谅。

本节课重点讲述组合数的各种性质，涉及大量内容，若对某个性质感兴趣，自行探究证明即可。

性质1：将组合数拓展至负数域，即底数为负数情况：[公式]。此性质可通过下降阶乘幂定义直接推导得出。

性质2：基于[公式]，由性质1可得[公式]。

性质3：[公式]。此性质表明杨辉三角同一行的前若干项交错和可求，但直接和难以计算。

性质4：[公式]。证明方式通过设定[公式]，将左侧表示为递归形式，若右侧亦可表示相同递归，两者相等。

性质4用途：设[公式]和[公式]取不同值，可得出多个恒等式。

性质5：令[公式]，得到[公式]，此为性质3的特例。

性质6：令[公式]，得到[公式]。左边为杨辉三角一行左半部和，因此[公式]。

性质7：[公式]。直观理解为从[公式]个物品中分别取[公式]个与[公式]个的方法数等于从[公式]个物品中取[公式]个，再从剩下[公式]个中取[公式]个的方法数。此性质可通过定义直接证明。

性质8：已介绍二项式系数，其推广至任意[公式]个未知数的展开式为[公式]，其中[公式]。

性质9：范德蒙德卷积式：[公式]。许多公式可通过替换变量推导获得：[公式]。

例题1：最后详细解一道组合题，其他题目请参照具体数学英文版第173页。

求解闭形式：[公式]。依据性质7，得到[公式]，故[公式]。而[公式]，因此[公式]。