xy′+y=cosx, y(π)=1,求初值的问题下求得y后需不需要考虑x=0

Question

xy′+y=cosx, y(π)=1,求初值的问题下求得y=(sinx+π)/x后，这时候需不需要考虑x=0的场景？

Answer 1

【求解答案】不需要考虑x=0的初始条件。该微分方程的特解为

y=(π + sin(x))/x

【求解思路】

1、将原方程改写成线性型的微分方程

2、运用线性微分方程求解公式，进行计算

【求解过程】

【本题知识点】

1、微分方程。微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

2、一阶线性微分方程。形如

的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)为定义在区间上的已知连续函数。

3、一阶线性微分方程的通解公式推导

1）先求对应的齐次线性微分方程的通解

2）再用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解

Answer 2

xy′+ y = cosx, y(π)=1
x ≠ 0 时， 得 y′ + y/x = cosx/x 为一阶线性微分方程， 通解是
y = e^(∫-dx/x)[∫(cosx/x)e^(∫dx/x)dx + C]
= (1/x)[∫cosxdx + C] = (sinx + C)/x
x = 0 时， 得 y = 1
微分方程 xy′+ y = cosx 的通解是
y = (sinx + C)/x （x ≠ 0）
y = 1 （x = 0）
初始条件 y(π) = 1 代入， 得 C = π
微分方程 xy′+ y = cosx 满足初始条件 y(π) = 1 的特解是
y = (sinx + π)/x （x ≠ 0）
y = 1 （x = 0）