求式子的微分方程满足所给初始条件的特解：cosydx+(1+e^-x)sinydy=0,x=0y=

Question

求式子的微分方程满足所给初始条件的特解：cosydx+(1+e^-x)sinydy=0,x=0y=π/4

Answer 1

特解：

cosydx+(1+e^-x)sinydy=0

e^xcosydx+(e^x+1)sinydy=0

e^xcosydx+e^xsinydy=-sinydy

cosyde^x-e^xdcosy=-sinydy

de^x/cosy-e^xdcosy/cosy^2=-sinydy/cosy^2

d(e^x/cosy)=-d(1/cosy)

通解e^x/cosy=-1/cosy+C

即e^x=-1+Ccosy

y|x=0 =π/4

1=-1+√2C/2

√2C=4

C=2√2

特解e^x=-1+2√2cosy

约束条件：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

Answer 2

cosydx+(1+e^-x)sinydy=0

e^xcosydx+(e^x+1)sinydy=0

e^xcosydx+e^xsinydy=-sinydy

cosyde^x-e^xdcosy=-sinydy

de^x/cosy-e^xdcosy/cosy^2=-sinydy/cosy^2

d(e^x/cosy)=-d(1/cosy)

通解e^x/cosy=-1/cosy+C

即e^x=-1+Ccosy

y|x=0 =π/4

1=-1+√2C/2

√2C=4

C=2√2

特解e^x=-1+2√2cosy

扩展资料

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

追问

答案c=2根号2

我算出来也是4根号2

追答

不必过多考虑c的值，因为这与前面解的结果有关。
你可以把结果代入原式进行检验，如果满足原式，
那么结果就是正确的。

追问

那两个答案都对？

追答

如果都满足原式，那当然就是都正确。

追问

可它要求的是特解

c的答案不就是只有一个吗

追答

一般来说，只有一个满足原方程，
其中必有一个是错误的。

追问

那2根号2是怎么算出来的

追答

我不知道。要想知道，必需知道它的全过程。

追问

第（4）是参考答案

追答

把我写的c除过去，得1/c就是他的c。也就是这是一个把c写在左边还是写在右边的事，无所谓的，

追问

c是两边都可以放的吗

追答

一般放在自变量一边，有时为了方便，
放到因变量一边也未尝不可。
问了我这么多问题，还没采纳我的解答啦！