衡量精度的指标

Answer 1

一、精度

所谓精度，是指对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。

在一定的观测条件下进行一组观测，如果小误差的观测值个数相对来说比较多，误差较为集中于零的附近，从直方图来看，纵轴（误差为0）附近的长方条形成高峰，且由各长方条构成的阶梯比较陡峭，即表明这组观测值的误差分布得较为密集，观测值间的差异也较小，就说这组观测值的精度较高。如果一组小误差的观测值相对来说较少，误差较为分散，从直方图上看，纵轴附近的长方条顶峰较低，其阶梯较为平缓，则表明其误差分布得较为离散，观测值间的差异也较大，就说这组观测值的精度相对来说较低。

在相同的观测条件下，所测得的一组观测值，虽然它们的真误差不相等，但都对应于同一误差分布，故这些观测值彼此是等精度的。

二、衡量精度的指标

为了衡量观测精度的高低，固然可以编制误差分布表或绘制误差分布直方图，以比较其离散程度，但这种方法既麻烦亦不便应用。实际上，人们常需要对精度有一数字概念，这种具体数字能够反映出误差分布的密集或离散的程度，以作为衡量精度的指标。常用的衡量精度的指标有如下几种。

1.中误差（标准差）

在相同的观测条件下，测得一组等精度的独立观测值为l₁，l₂，l₃，…，l_n，各观测值的真误差为Δ₁，Δ₂，…，Δ_n，则中误差的定义式为

建筑工程测量

或

建筑工程测量

式中：n——观测次数。

在实际工作中，观测次数n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能算得中误差的估计值，其计算式为

建筑工程测量

或

建筑工程测量

中误差不同于各个观测值的真误差，它是衡量一组观测值精度的指标，它的大小反映着一组观测误差的离散程度。中误差m小，则误差的分布较为密集，各观测值之间的差异也较小，这组观测的精度就高；反之，中误差较大，则误差的分布较为离散，观测值之间的差异也大，这组观测的精度就低。在一组等精度观测值中，虽然它们的真误差各不相同，但每一观测值的中误差均为m。

例：有两组观测值，各组分别为等精度观测，它们的真误差分别为第一组：+4″，-2.0″，0，-4″，+3″；第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″（各组中真误差个数应大于10）。

由（5-4b）得两组的中误差分别为

建筑工程测量

建筑工程测量

因为第一组误差m₁较小，故其观测精度较高。

2.平均误差

在相同的观测条件下，一组独立的真误差设为Δ₁，Δ₂，…，Δ_n，则平均误差的定义式为

建筑工程测量

式中：｜Δ｜——真误差的绝对值；

n——观测次数。

当观测次数为有限时，可用下式计算θ的估计值，仍称为平均误差。即

建筑工程测量

平均误差与中误差的关系为

建筑工程测量

在计算上，平均误差较为方便，但当n为有限时，其可靠性不如中误差。如上例，由式（5-6）计算得

建筑工程测量

建筑工程测量

由此判断两组的精度相等，这显然是不恰当的，因为第二组中有绝对值较大的真误差，且其真误差的分布范围（-5″～+6″）亦较第一组为大。

由于上述原因，我国统一采用中误差作为衡量精度的指标。

3.容许误差（限差）

在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为“容许误差”，亦称为“限差”或“极限误差”。根据误差理论和实践证明，在一组大量的等精度观测中，大于两倍中误差的偶然误差，其出现的机会约为5%；大于三倍中误差的偶然误差，其出现的机会约为0.3%。因为在实际工作中测量的次数总是有限的，可以认为大于三倍中误差的偶然误差是不可能出现的，所以常采用三倍中误差为容许误差。当精度要求较高时，可采用两倍中误差作为容许误差。即

Δ_容=3m，或Δ_容=2m

如果在一组有限次的观测中，某个观测值的误差大于容许误差时，就可以认为有错误，应舍去这一观测值。

4.相对误差

一些观测量的测量结果，其误差与该量的大小有关。例如，用钢尺量距的中误差，与距离长度L的平方根成正比。对于这些观测量，仅用中误差还不能完全表达测量结果的精度，这时需要采用相对误差评定精度。

相对误差为误差的绝对值与该观测量的大小的比值。为一无名数。在测量中，常用分子为1的分数表示。

例如，有两段距离，第一段量得为50m，其中误差为m₁=±0.02m；第二段量得为100m，其中误差为m₂=±0.02m。两者的中误差相等，但还不能认为其精度是相同的，因为两者的长度不同，算得的相对中误差亦不等，分别为

第一段

建筑工程测量

第二段

建筑工程测量

显然第二段的相对中误差较小，故其精度较高。

与相对误差相对应，以前提到的真误差、中误差、较差和闭合差，统称为绝对误差。

因所用的绝对误差为中误差或较差，算得的相对误差又称为相对中误差或相对较差。

对于相对误差，亦规定有相应的容许值，如用钢尺往返测量一段距离时，其容许的相对较差为1/1000～1/3000。