什么是不定积分的常见计算公式？

Answer 1

 例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。

主要内容：

通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识，介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。



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根式换元法：

设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：

∫x√(x+2)dx

=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

=2∫t^2*(t^2-2)dt,

=2∫(t^4-2t^2)dt,

=2/5*t^5-4/3*t^3+C,

=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,



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根式部分凑分法

∫x√(x+2)dx

=∫x√(x+2)d(x+2),

=2/3∫xd(x+2)^(3/2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,



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整式部分凑分法

A=∫x√(x+2)dx,

=(1/2)∫√(x+2)dx^2,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,



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=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

即：(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。



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不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。



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不定积分的计算

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。



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根式换元法：

设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：

∫x√(x+2)dx

=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

=2∫t^2*(t^2-2)dt,

=2∫(t^4-2t^2)dt,

=2/5*t^5-4/3*t^3+C,

=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,



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凑分法不定积分：

∫x√(2x^2+1)^3dx

=(1/2)∫√(2x^2+1)^3dx^2

=(1/4)∫√(2x^2+1)^3d2x^2

=(1/4)∫(2x^2+1)^(3/2)d(2x^2+1)

=(1/4)*(2/5)* (2x^2+1)^(5/2)+C.

=(1/10)* (2x^2+1)^(5/2)+C.



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分部积分法计算不定积分：

∫x^4 (lnx)^2dx

=(1/5)∫(lnx)^2dx^a11，以下第一次使用分部积分法，

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(1/5)∫x^5d(lnx)^2

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^5*lnx*(1/x)dx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^4*lnxdx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)∫lnxdx^5,



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以下第二次使用分部积分法，

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5dlnx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5*1/xdx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^adx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/125)x^5+c

=x^5 [(1/5) (lnx)^2-(2/25)lnx+(2/125)]+c

=(1/125)x^5 [25 (lnx)^2-10lnx+2]+c.



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凑分及分部积分法

∫(10x^2+x+1)lnxdx

=∫lnxd(10x^3/3+x^2/2+x),对幂函数部分进行凑分，

=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dlnx

=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dx/x

=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^2/3+x/2+1)dx

=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-(10x^3/9+x^2/4+x)+C。



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不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。



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其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。



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不定积分的计算

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。