数学柯西不等式证明

Answer 1

1. 构造二次函数
注意到柯西不等式是 Acdot Cgeq B^2 的结构，这可以让我们联想到二次方程的判别式 Delta=b^2-4ac ，于是我们可以构造如下的二次函数：
f(x)=lef(sum_{i=1}^{n}{a_i^2}
ight)x^2+2lef(sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}
ight)x+sum_{i=1}^{n}{b_i^2}
注意到这个二次函数可以变形为：
f(x)=sum_{i=0}^{n}{lef(a_ix+b_i
ight)^2}
于是有 f(x) 恒大于等于0，所以其判别式恒小于等于0，即：
lef(2sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}
ight)^2-4sum_{i=1}^{n}{a_i^2}sum_{i=1}^{n}{b_i^2}leq0
变形即得柯西不等式.
2. 数学归纳法
当n=2时，柯西不等式化为：
lef(a_1^2+a_2^2
ight)lef(b_1^2+b_2^2
ight)gelef(a_1b_1+a_2b_2
ight)^2
左式减去右式，得：
begin{align} quad lef(a_1^2+a_2^2
ight)lef(b_1^2+b_2^2
ight)-lef(a_1b_1+a_2b_2
ight)^2 =a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1a_2b_1b_2 =lef(a_1b_2-a_2b_1
ight)^2 ge0 end{align}
于是，当n=2时，柯西不等式成立.
若n=k（k≥2，k∈N）时，柯西不等式成立. 则：
begin{align} quad sum_{i=1}^{k+1}{a_i^2}sum_{i=1}^{k+1}{b_i^2} =lef(lef(sqrt{sum_{i=1}^{k}{a_i^2}}
ight)^2+a_{k+1}^2
ight)lef(lef(sqrt{sum_{i=1}^{k}{b_i^2}}
ight)^2+b_{k+1}^2
ight) gelef(sqrt{sum_{i=1}^{k}{a_i^2}cdotsum_{i=1}^{k}{b_i^2}}+a_{k+1}b_{k+1}
ight)^2 gelef(sum_{i=1}^{k+1}{a_ib_i}
ight)^2 end{align}
【第一个不等号是n=2时的柯西，第二个不等号是n=k时的柯西】
于是便证得了柯西不等式