关于：标准误（抽样误差）

Question

例如：
有一学校共1000名学生，要测量他们的平均身高。当测量他们所有1000人的身高时，就不存在标准误了（没有抽样误差），这是毫无疑问的。

但是如果只抽取了一个样本（50人），那么标准误存在吗？ 如果有，是等于标准差吗？

Answer 1

（一）抽样误差的概念

抽样误差：是指样本指标和总体指标之间数量上的差别，例如抽样平均数与总体平均数之差 、抽样成数与总体成数之差（p-P）等。

抽样调查中的误差有两个来源。

1、登记性误差，即在调查过程中，由于主客观原因而引起的误差。

2、代表性误差，即样本各单位的结构情况不足以代表总体特征而引起的误差。

代表性误差的发生有两种情况：

第一，非随机的代表性误差。

第二，随机性误差。

（二）抽样平均误差

抽样平均误差：是抽样平均数（或抽样成数）的标准差，它反映抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。由于从一个总体可能抽取之个样本，因此抽样指标（如平均数、抽样成数等），就有多个不同的数值，因而对全及指标（如总体平均数、总体成数等）的离差也就有大有小，这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。

抽样平均数的平均数等于总体平均数，抽样成数的平均数等于总体总数，因而抽样平均数（或抽样成数）的标准差实际上反映了抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。

（三）抽样极限误差

抽样极限误差：抽样估计时，应根据研究对象的差异程度和分析任务的需要来确定可允许的误差范围，这种允许的误差范围称为抽样极限误差。它小于或等于样本指标与总体指标之差的绝对值。

设Δx、Δp分别表示抽样平均数极限误差和抽样成数极限误差。则有：

Δx≤ Δp≤

上面不等式可变为下列不等式

≤ ≤ +Δx P-Δp≤p≤P+Δp

抽样平均数 是以总体平均数 中心在 之间变动，区间（ ）称为平均数的估计区间，区间总长度为2Δx，在这个区间内的抽样平均数与总体平均数的绝对离差不超过Δx。

抽样成数p是以总体成数P为中心，在p±Δp之间变动，抽样成数在（P-Δp，P+Δp）区间内与总体成数的绝对离差不超过Δp。

总全平均数 落在抽样平均数 的范围内，总体成数P落在抽样成数p±Δp的范围内即：

（四）影响抽样误差大小的因素

1．总体各单位标志值的差异程度。

2．抽样单位数的多少。

3．抽样方法。

4．抽样调查的组织形式。

（五）、简单随机抽样的抽样平均误差

1．抽样平均数的平均误差。若以μx表示抽样平均数的平均误差，即表示总体的标准差，根据定义：

=E

=

（1）在重置抽样的情况下，这时的样本变量x1，x2，…，xn是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。展开上式得：

=

x=

抽样平均数的平均误差为总体标准差的 ，抽样平均误差和总体标志变动度的大小成正比，而和样本单位数的平方根成反比。

举例说明：。

设有3个职工，其月工资分别为500、760、840元。现用重置抽样的方法从3个工人工资中随机抽取2人构成样本，并计算样本平均工资，以代表3人总体的平均工资。所有可能的样本以及平均工资及表7—1。

样本平均数的平均数E（ ）=

= (元)

抽样平均误差=

表7—1 工资抽样平均误差计算表

序号
样本变量x
样本平均数
平均数离差

离差平方

1
500500
500
-200
4000

2
500760
630
-70
4900

3
500840
670
-30
900

4
760500
630
-70
4900

5
760760
760
60
3600

6
760840
800
100
1000

7
840500
670
-30
900

8
840760
800
100
10000

9
840840
840
140
19600

若直接用3人工资计算总平均工资和工资的标准差，其结果为：

（元）

=

=145.4（元）

抽样平均误差为：

（元）

结论：第一，样本平均数的平均数 等于总体平均数，即 = ；

第二，抽样平均误差要比总体标准差小得多，仅为总体标准差的 。

（2）在不重置抽样的条件下，样本变量x1，x2，…，xn不是相互独立的，经过推导，得

在总体单位数N很大的情况下，μx，可以近似地用下式计算：

参考资料：http://www.scude.cc/kejian/yingyongtongjixue/jiangyi/7-2.htm