为什么洛必达法则只能用于未定式？

Question

我看同济高数（4版）上对洛必达法则的证明并没有对未定式进行限定，而洛必达法则确实不能用于未定式，所以我想知道为什么只能用于未定式？
或者请给我一个有对未定式限定的证明

Answer 1

我也想过这个问题，我想原因应该是这样，下面是洛必达法则的三个条件
1） 当x->a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
2）在点a的某去心邻域内，及都存在，且
3）存在(或为无穷大)，

根据洛必达法则的三个条件中的第一个 1） 当x->a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；

同济版高数1第133页在证明这个定里时，使用了柯西中值定里，即下面的式子
f(x) - f(a) / F(x) - F(a) = f'(e) / F'(e) ，若要使f(x) / F(x) = f'(e) / F'(e) 必须 f(a) = F(a) = 0，

而非未定式 f(a) !=0，F(a)!=0。所以条件不能满足了，就不能用洛必达法则了

具体参考同济版高数1第133页

如果不对请指正

Answer 2

因为 未定式 的极限 通常不好算 所以创造了 这个方法 求 未定式的极限

你反过来 却 又问 为什么只能 用于未定式

因为它本身 就是 为了解这个 而创造的方法（之一）

呵呵

Answer 3

个人之见
首先，要知道洛必达法则怎么来的，没错，是由柯西中值定理推得，即：
假定f(a)=F(a)=0 <==> f(x)/F(x) = [f(x)-f(a)]/[F(x)-F(a)] = f'(ξ)/F'(ξ) (ξ∈(a,x)or(x,a) ）,注意，等式最左边是洛必达法则中极限元素的原型，最右边是洛必达法则中右边的极限元素原型，而ξ≠x，好，现在要求使用洛必达法则，只有这么办： ξ→x ，而这个时候只有一个办法，x→a ，想必你也猜到了，中间的等式就成了未定式0/0。也许你会说为什么假定f(a)=F(a)=0，因为只有这样才能写出推导的这个等式。对于其他类型的未定式，可以类似的，先处理成0/0型，再推导。