线性常系数微分方程所表示的系统一定是线性时不变系统吗？我的证明哪里有问题呢？

Answer 1

这个微分方程是线性时不变系统。

问题出在对于这个系统来说，时不变性是显然成立的；至于线性，判断系统是否线性应该分为零状态和零输入分开讨论，只要零状态和零输入都满足就可以确定线性，否则为非线性。

从你红色的字来看你应该是对线性理解错了。对于系统，并不是说只有初始状态为零才线性，而是像上面所说的分开讨论零状态与零输入。

光由微分方程是不能确定一个系统的，还需要初始条件，一个n阶微分方程需要n个初始条件才能确定一个系统。

总结如下：

需要一个初始条件，若初始条件不为0，设两个输入x1(t)和x2(t)。输出分别为y1(t)和y2(t)，由于初始条件不为0，α·y1(t)+β·y2(t)的初始条件就可能不为0，因此它并不是α·x1(t)+β·x2(t)的响应 ，而如果初始状态为0则没有这个问题。

但你的证明我感觉问题出在，若两个函数同时满足某一线性常系数微分方程，并不能判断出，此二者相等，fx的原函数为fx+c，c为任意常量，由初始条件确定。