数学分析（9）第七章 定积分

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参考《数学分析》陈纪修

第七章 定积分

定积分的定义：直观上，当大和与小和的极限存在且相等，即当区间内任意分割下的矩形面积之和的极限存在并相等时，函数在该区间上是可积的。

可积的条件：
2.1 Darboux和的定义：函数在闭区间上的大和与小和的统称，当大和与小和的极限存在且相等时，函数在该区间上是可积的。
2.2 Riemann可积的充分必要条件：如果函数在闭区间上连续，则函数在该区间上可积，反之亦然。这为判断某些函数类的可积性提供了一个准则。

对于实际应用，判定函数可积性可能更为直接的方法是利用定理7.1.2，即对于任意分法，函数的上限积分与下限积分之差小于任意正数时，函数在该区间上可积。但这种方法往往难以直接应用。因此，更易于判断的条件也提供了方便。

定积分的基本性质：定积分具有线性、可加性等性质，这些性质使得定积分的计算更加简便。

微积分基本定理——Newton-Leibniz公式：通过定理7.3.1，可以导出微积分学中最重要的结论，即定积分与不定积分之间的关系，即定积分等于不定积分在区间端点的值之差。

4.2 定积分的换元积分法和分部积分法：这些方法提供了计算复杂定积分的技巧，使得许多看似难以解决的定积分问题变得易于处理。