设f```(x0)存在 证明

Question

lim [f(x0+h) + f(x0-h) - 2f(x0)] / h^2 = f``(x0) h-->0
我又答案 但是有一步不懂
就是他用洛必达时 2f(x0） 跑哪里去了？？

Answer 1

首先,由于极限的分子分母部分都趋向于0，所以可以用洛必达法则，这点你已经知道。
应用洛必达法则即对分子分母分别求导。注意，是对h分别求导，那么分母部分变为2h,而分子部分中,2f(x0)由于根本不含有h,那么他对h求导即为0.所以分子部分即为f'(x0+h)-f'(x0-h)
两者相除求极限即为f''(x0)了

Answer 2

2f(x0）对h来讲，是常数，对h求导时,导数为0。

lim(h->0)[f(x0+h) + f(x0-h) - 2f(x0)] / h^2
= lim(h->0)[f'(x0+h)-f'(x0-h)]/(2h)
= lim(h->0)[f''(x0+h)+f''(x0-h)]/2
= [f''(x0)+f''(x0)]/2
= f''(x0)

Answer 3

上式是二阶导数的定义。
对于一阶导数可以有不同写法。如：
lim [f(x0+h/2)-f(x0-h/2)] / h = f`(x0), h-->0
lim [f(x0+h)-f(x0)] / h = f`(x0), h-->0
二阶导数是在一阶导数的基础上再求一次导：
f``(x0)=lim {[f(x0+h)-f(x0)] / h -[f(x0)-f(x0-h)] / h}/h, h-->0
=lim {[f(x0+h)-f(x0)] -[f(x0)-f(x0-h)] / h}/h, h-->0
=lim {[f(x0+h)-f(x0)] -[f(x0)-f(x0-h)]} / h^2, h-->0
=lim [f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)] / h^2, h-->0