对数对时间如何求导

Question

y=lgx
dy/dx=?

y=lnx
dy/dx=?

y=Y/N
两边同时取对数得：
lny=lnY-lnN
两边同时对t求导：
dy/dt/y=dY/dt/Y-dN/dt/N
为什么是这个结果?中间的步骤？

Answer 1

先答你第二个问题：
y=lnx
dy/dx=1/x
这个可以这么理解。对数是指数的逆函数。所以你可以把x和y的关系反过来写成：
x=e^y
e是自然对数的底。对等式两边的y求导，得出：
dx/dy=e^y
等式右边再把x和y的关系再用一遍，得：
dx/dy=x
最后两边都取倒数(即分子分母颠倒过来)，得：
dy/dx=1/x
这个也可以把y替换成lnx，写成：
d(lnx)/dx=1/x

同理(lg你是指以2为底的对数吗？)，
y=lgx
dy/dx=1/(x*ln2)
按上面的步骤：
x=2^y=e^(y*ln2)
第二个等式是根据自然对数的定义得出的。这回求导数时，右边会多出个因子ln2：
dx/dy=e^(y*ln2)*ln2
等式右边再把x和y的关系再用一遍，得：
dx/dy=x*ln2
最后两边都取倒数
dy/dx=1/(x*ln2)

lny=lnY-lnN
两边同时对t求导：
d(lny)/dt=d(lnY)/dt-d(lnN)/dt
也就是每一项分别对t求导。我们可以一项一项地做：
d(lny)/dt=[d(lny)/dy]*(dy/dt)
这一步叫链式法则。然后我们只需要算d(lny)/dy。用前面的公式：
d(lny)/dy=1/y
所以，
d(lny)/dt=dy/dt/y
同理，
d(lnY)/dt=dY/dt/Y
d(lnN)/dt=dN/dt/N
于是就得到：
dy/dt/y=dY/dt/Y-dN/dt/N

你的微积分要补补课了。这些都应该是高中学的东西。