则 f(x) 在区间 [ n, n+1 ] 上的最大值为
f(n) =1/n,
最小值为
f(n+1) =1/(n+1).
由定积分性质, 得
1/(n+1) < f(x)在[ n, n+1 ] 上的定积分 < 1/n
即 1/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1/n.
所以 1/2 < ln 2 < 1,
1/3 < ln3 -ln2 < 1/2,
... ...
1/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1/n,
所以 1/2 +1/3 +... +1/(n+1) < ln (n+1) < 1 +1/2 +1/3 +... +1/n,
同理, 1/2 +1/3 +... +1/n < ln n,
所以 1 +1/2 +1/3 +... +1/n < 1 +ln n.
综上, ln (n+1) <1 +1/2 +1/3 +... +1/n < 1 +ln n.
= = = = = = = = =
定积分的性质：
设M,m 分别是 f(x) 在 [a,b] 上的最大值及最小值,
则 m (b-a) <= f(x) 在 [a,b] 上的定积分 <= M (b-a).本回答被提问者采纳
证明不等式:ln(x+1)≤1+1\/2+1\/3+...+1\/n<1+lnn
证明：令 f(x) =1\/x,则 f(x) 在区间 [ n, n+1 ] 上的最大值为 f(n) =1\/n,最小值为 f(n+1) =1\/(n+1).由定积分性质, 得 1\/(n+1) < f(x)在[ n, n+1 ] 上的定积分 < 1\/n 即 1\/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1\/n.所以 1\/2 < ln 2 < 1,1\/3 ...
证明ln(x+1)<1+1\/2+1\/3+...+1\/n
首先ln(n+1)=ln(n+1)\/n+lnn\/(n-1)+...+ln3\/2+ln2\/1 所以只需要证明ln(n+1)\/n<1\/n就可以了，之后累加就出来了 ln(n+1)\/n<1\/n可以等价于ln(x+1)<x其中x=1\/n，ln(x+1)<x的证明应该很简单了吧，简单的求导之后就可以了 不知道你听懂了没有，如果你是高二的学生的话估...
ln(n+1)<1+1\/2+1\/3...+1\/n<1+lnn 用定积分证明 答案看不懂求助
证明：令 f(x) =1\/x,则 f(x) 在区间 [ n, n+1 ] 上求出最大值和最小值。解析如下：1、按照定积分的周期函数的平移性质 确实应该先确定被积函数的周期，最主要用三角函数那个降幂扩角那个公式确定周期。2、积分限变换的时候，确实要考虑被积函数的正负 题中(1)(2)换积分限是因为它的周...
证明In(1+n)<1+1\/2+1\/3+...+1\/n<1+Inn,希望能把步骤写详细点,谢谢了...
∴g(x) > g(1) = 0 即 lnx > 1 - 1\/x 分别令x =2，3\/2，4\/3，……，n\/(n-1)ln2 > 1\/2 ln(3\/2) > 1\/3 ln(4\/3) > 1\/4 ……ln[n\/(n-1)] > 1\/n 各式相加得 lnn > 1\/2+1\/3+...+1\/n 即 1+1\/2+1\/3+...+1\/n < 1+ lnn 故 ln(1+n) ＜1...
证明ln(n+1)<1+1\/2+1\/3+……+1\/n
当x>0时，有个常用不等式：ln(1+x)<x【用导数法很容易证明的】∴ ln[(n+1)\/n]=ln(1+1\/n)<1\/n ln[n\/(n-1)]=ln[1+1\/(n-1)]<1\/(n-1)……ln[(2+1)\/2]=ln(1+1\/2)<1\/2 ln[(1+1)\/1]=ln(1+1)<1 以上n个不等式相加，左边利用对数性质求对数和，真数可相消：...
ln(n+1)<1+1\/2+1\/3+...1\/n怎么证明?
构造函数证明ln(1+x)<x 分别令x=1，1\/2，1\/3，，1\/n 累加即得
...ln(1+n)<1+1\/2+1\/3+..+1\/n<1+lnn怎么证明,只能用定积分
由定积分的性质知：∑[i=1,n]S(i)=∑[i=1,n]∫[i,i+1]dx\/x=∫[1,n]dx\/x=ln(n)>∑[i=1,n]1\/(i+1)=1\/2+…+1\/n+1\/(n+1)∴1+1\/2+1\/3+..+1\/n<1+1\/2+1\/3+..+1\/n+1\/(n+1)<1+ln(n)总之：ln(1+n)<1+1\/2+1\/3+..+1\/n<1+ln(n) 得证。
...2.求证:ln(n+1)>1\/3+1\/5+...+1\/2n+1 (n为正整数)
证明：当n＝1时，左边＞右边；设n＝k时，ln(k+1)>1\/3+1\/5+...+1\/2k+1 则当n＝k＋1时，右边等于1\/3+1\/5+...+1\/2k+1.+1\/2k+2.+1\/2k+3，左边等于ln(k+2)，两边化简得：k＋2＝k＋1＋1＞10∧1\/3+1\/5+...+1\/2k+1+1，因为1\/2k+2.+1\/2k+3＜1，所以k＋2＝k...
证明1+1\/2+1\/3+...+1\/n<1+ln(n)
2，3，……，N ，每个点做垂直X轴的线交与函数图像，然后从2的交点开始做平行与Y的线，显然，这些小矩形面积的和，小于图形与X轴所围面积，而这两个面积分别是1\/2＋1\/3+...1\/n,积分（1，n）1\/xdx=ln(n),两边再加上1，就OK了，当然，这是N>=1的情况，等于1就不用说了....
证明不等式lnx(x+1)<x,其中x>0
x>0时，lnx(x+1)<x不成立!题目应为:x>0时，证明不等式ln(x+1)<x。构造函数f(t)=ln(t+1)-t，则t>0时，f'(t)=-t\/(t+1)<0，∴f(t)为单调递减函数，故x>0时，f(x)<f(0)=0，∴ln(x+1)-x<0，即ln(x+1)<x。
