如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，角C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。.动点P从点D出发，

Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，角C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。.动点P从点D出发，沿直线DA的方向以每秒2个单位长度长的速度运动，动点Q从C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到B时，点P随之停止运动。设运动时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB想交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时间t，使PQ⊥BD？若存在求出t 不存在，说明理由。
这个问题有好几个都是要分类讨论的哦！

Answer 1

（1）过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形
∴PM=DC=12
∵QB＝16-t
∴S=(1/2)×12×(16-t)=96-6t

（2）CM=PD=2t，CQ=t，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，由PQ²=BQ²得t²+12²=(16-t)²，解得t=7/2；
②若BP=BQ。在Rt△PMB中，BP²=(16-t)²+12²。由BP²＝BQ²得：
(16-2t)²+12²=(16-t)²即3t²-32t+144=0。
由于Δ＜00 ∴无解
∴PB≠BQ
③若PB=PQ。由PB²=PQ²，得t²+12²=(16-2t)²+12²
整理，得3t²-64t+256=0。解得t1=16/3,t2=16（不合题意，舍去）
综上可知：当t=7/2秒 或 t=16/3秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。

（3）由△OAP∽△OBQ，得AP/BQ=AO/OB=1/2
∵AP=2t-21，BQ=16-t，∴2(2t-21)=16-t
∴t=58/5
过点Q作QE⊥AD，垂足为E
∵PD=2t，ED=QC=t
∴PE=t
在RT△PEQ中，tan∠QPE=QE/PE=12/t=30/29

（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD
过点Q作QE⊥AD，垂足为E
由Rt△BDC∽Rt△QPE
得DC/BC=PE/EQ
即12/16=t/12
解得t=9
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD

Answer 2

前2题如下

Answer 3

好吧！！

Answer 4

谢谢，对我太有帮助了。