已知a,b,c都为正数，求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9

Question

建议：左边乘开

Answer 1

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1+(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a （由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）
>=3+2+2+2
=9

Answer 2

直接用柯西不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥[(√a)(1/√a)+(√b)(1/√b)+(√c)(1/√c)]^2=9
当且仅当√a/(1/√a)=√b/(1/√b)=√c/(1/√c)
也就是a=b=c时取等