三道数学题（详细过程）

Question

1. △ABC中，tanA/tanB=a²/b²,判断三角形的形状

2.在△ABC中，（a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B),判断△ABC的形状

3.在△ABC中，已知sinA/sinC=sin(A-B)/sin(B-C),求证2b²=a²+c²

Answer 1

解：
1、△ABC中，sinA/sinB=a/b；则tanA/tanB=acosB/bcosA=a²/b²；
即：cosB/cosA=a/b=sinA/sinB；则sinBcosB=sinAcosA；
即：sin(2B)=sin(2A)；则2B=2A或π-2B=2A；即A=B;或A+B=π/2；
故△ABC为等腰三角形(a=b),或直角三角形(C=π/2)。
2、△ABC中，（a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)；
则a²[sin(A-B)-sin(A+B)]=-b²[sin(A+B)+sin(A-B)]；
有-2a²cosAsinB=-2b²sinAcosB；即：a²cosA/(b²cosB)=sinA/sinB=a/b；
则acosA=bcosB;则a/b=sinA/sinB=cosB/cosA；则sinBcosB=sinAcosA；
即：sin(2B)=sin(2A)；则2B=2A或π-2B=2A；即A=B;或A+B=π/2；
故△ABC为等腰三角形(a=b),或直角三角形(C=π/2)。
3、证明：
∵sinA/sinC=sin(A-B)/sin(B-C)=(sinAcosB-cosAsinB)/(sinBcosC-cosBsinC)；
∴sinAsinBcosC-sinAcosBsinC=sinAcosBsinC-cosAsinBsinC；
∴sinB(sinAcosC+cosAsinC)=2sinAsinCcosB，即sinBsin(A+C)=2sinAsinCcosB；
又∵△ABC中，B=π-(A+C)，∴sin(A+C)=sinB；
∴sinBsinB=2sinAsinCcosB，即b²=2accosB；
又∵△ABC中cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)；故b²=2accosB=2ac(a²+c²-b²)/(2ac)；
整理有：2b²=a²+c² ；证毕。
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