函数可到与连续之间的关系，其中有一句是，连续未必可导，什么意思？ 是不是这个点确定，就不可导了？

Question

请举例说明。
可以再说明白一点么？什么叫左右不等？Y=X的绝对值中X=0时Y=1，左右为什么不等？是因为不连续？

Answer 1

连续反映到图像上就是：在定义域内图像是一条连续的线。

首先，连续和可导都是针对某个点而言的。

某点处导数值的几何含义是切线斜率，则一点处可导反映到图像上就是此点处可做出切线，很显然此点处断开、或者出现棱角状都做不出切线（此点是棱角的顶点，该点处做切线会出现跷跷板一样的情况，无法确定唯一切线），即不可导。

而断开和棱角状两种不可导的情况中，棱角状的曲线在该点处仍然是连续的。所以连续不一定可导，因为存在连续的但却是棱角的顶点的点（不可导）。

举例：y=|x|的例子当中，x=0处是一个直角，所以无法做出切线，会出现跷跷板，所以是不可导。

可导→存在切线斜率→存在切线→此点处存在光滑邻域；处处可导→光滑曲线（无棱角）

扩展资料：

闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。

所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。

由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上确界和下确界。

设f([a,b])的上确界为M，则必存在ξ∈[a,b]使f(ξ)=M

若不是这样，根据上界的定义，对任意x∈[a,b]，都有f(x)<M。

参考资料来源：百度百科-连续函数

Answer 2

连续反映到图像上就是：在定义域内图像是一条连续的线。

首先，连续和可导都是针对某个点而言的。

某点处导数值的几何含义是切线斜率，则一点处可导反映到图像上就是此点处可做出切线，很显然此点处断开、或者出现棱角状都做不出切线（此点是棱角的顶点，该点处做切线会出现跷跷板一样的情况，无法确定唯一切线），即不可导。

而断开和棱角状两种不可导的情况中，棱角状的曲线在该点处仍然是连续的。所以连续不一定可导，因为存在连续的但却是棱角的顶点的点（不可导）。

举例：y=|x|的例子当中，x=0处是一个直角，所以无法做出切线，会出现跷跷板，所以是不可导。

可导→存在切线斜率→存在切线→此点处存在光滑邻域；处处可导→光滑曲线（无棱角）

扩展资料：

变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。

注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。

证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a，b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a，b]。

参考资料来源：百度百科--连续函数

Answer 3

连续反映到图像上就是：在定义域内图像是一条连续的线。

首先，连续和可导都是针对某个点而言的。

某点处导数值的几何含义是切线斜率，则一点处可导反映到图像上就是此点处可做出切线，很显然此点处断开、或者出现棱角状都做不出切线（此点是棱角的顶点，该点处做切线会出现跷跷板一样的情况，无法确定唯一切线），即不可导。

而断开和棱角状两种不可导的情况中，棱角状的曲线在该点处仍然是连续的。所以连续不一定可导，因为存在连续的但却是棱角的顶点的点（不可导）。

举例：y=|x|的例子当中，x=0处是一个直角，所以无法做出切线，会出现跷跷板，所以是不可导。

可导→存在切线斜率→存在切线→此点处存在光滑邻域；处处可导→光滑曲线（无棱角）

扩展资料：

在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。

在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

连续函数的复合函数是连续的。这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

参考资料来源：百度百科——连续函数

Answer 4

其实你从图像上更容易理解。连续反映到图像上就是：在定义域内图像是一条连续的线。
首先，连续和可导都是针对某个点而言的。
某点处导数值的几何含义是切线斜率，则一点处可导反映到图像上就是此点处可做出切线，很显然此点处断开、或者出现棱角状都做不出切线（此点是棱角的顶点，该点处做切线会出现跷跷板一样的情况，无法确定唯一切线），即不可导。
而断开和棱角状两种不可导的情况中，棱角状的曲线在该点处仍然是连续的。所以连续不一定可导，因为存在连续的但却是棱角的顶点的点（不可导）。
y=|x|的例子当中，x=0处是一个直角，所以无法做出切线，会出现跷跷板，所以是不可导。
如果从可导定义中来看，必须左右导数同时存在并且相等，x=0处左右导数均存在，但是不相等。此处左右导数不相等就意味着此点处会出现斜率突变，反映到直观图像上就是“棱角”，只是转换成了数学语言表达。
注：理解好导数的几何意义非常有利于帮助理解可导和连续之间的关系。
可导→存在切线斜率→存在切线→此点处存在光滑邻域；处处可导→光滑曲线（无棱角）

Answer 5

可导一定连续。连续不一定可导。在一点可导的充要条件是左右导数连续且相等！比如y＝x的绝对值在x＝0处不可导由导数的定义可知左右导数存在但不相等。初等函数处处可导分段函数不可导点在分段点上！
y=|x|首先是一条分段函数该函数在x=0的左导数等于-1而右导数等于1所以该函数在x=0的导数不存在。
特别注意：设函数f(x)是连续的且在x=0处左右导数相等则f(x)在x=0处可导（x）
在辨别导数在某点存在时一定要注意两个条件1.先存在2.再相等。（十分重要）
在判别导数的连续性的时候，注意初等函数在其对应的区间内处处可导，可以有倒数的公式进行求解。看到分段函数的时候，利用倒数的定义求分段点的左右导数，在结合上面说的进行判断。