求极限加减法时可以用等价替换吗

Question

高数.求极限时,是不是只要是等价无穷小就可以替换啊.还有求极限时.可不可以把加法分开,然后进行替换,再求?

Answer 1

不能。因为被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。并且，被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
单调收敛定理：单调有界数列必收敛。

柯西收敛原理：设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”。
3、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

乘法可以,加减法不可以.
做分子分母这样的极限,一般需要看分母的等价无穷小是什么类型,几阶的
分子中任何一项就必须换成或展开成同样阶数的
如 (x-sinx)/x^3 分子中的sinx就不能换成等价的x,但可以换成x-x^3/3+o(x^3)