关于为什么加减式中不能使用等价无穷小替换

Question

教科书上有说在加减关系的时候建议不要用等价无穷小代换，通过泰勒公式也知道sinx-x应代换成1/6x^3 但是怎么也想不通上面的推导有什么问题啊，sinx和x在x趋近于0时极限都存在，如果根据极限的四则运算的话，那么两个等价无穷小的差不应该等于0吗？
而且既然加减关系的时候不能使用等价无穷小替换，为什么有时候分式的分子为多项式时有同时等价替换多项式各部分的做法？那只替换一部分可以吗？求高手指点。

Answer 1

原因如下：

在对无穷小比无穷小求极限的过程中,可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换.

加减时一般不能用等价无穷小替换,加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在,且极限不等于-1,则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换.

拓展资料：其实大部分的加减法替换能成功都是偶然的。如果硬要说条件的话就是替换后必须是原极限要变成“两个极限加减的形式而且这两个极限都必须存在”

比如
lim (sinx+tanx+x)/x    （x->0)
=lim (x+x+x)/x
=3

Answer 2

在对无穷小比无穷小求极限的过程中，可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换，加减时一般不能用等价无穷小替换，加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在，且极限不等于-1，则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换。

拓展资料：

极限运算法则+两个重要极限：

1、有限个无穷小的和也是无穷小

2、有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小

3、常数与无穷小的乘积仍为无穷小

4、有限个无穷小的乘积任为无穷小

5、如果limf(x)=A，limg(x)=B

limf(x)+limg(x)=A+B

limf(x)-limg(x)=A-B

limf(x)*g(x)=A*B

limf(x)/g(x)=A/B

c为常数

lim[cf(x)] = climf(x)

lim[f(x)]^n= [limf(x)]^n

6、设有数列{xn}和{yn}，如果limxn=A，limyn=B，

则lim（xn+yn）= A+B

lim(xn*yn) = A*B

当x→∞时，lim(sinx/x)=0

因为1/x趋向于0，sinx为有界函数，符合第二点

准则一：夹逼准则

{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：

1）yn<=xn<=zn,n=1,2,3......

2）limyn=a,limzn=a,则数列{xn}极限存在，并且limxn=a。

由此推出   当x→0,lim(sinx/x)=1

由此推出  当a（x）是无穷小时，lim[sina(x)/a(x)]=1

准则二：单调有界数列必有极限

单调增加有上界的数列必有极限

单调减少有下界的数列必有极限

由此推出：lim（1+1/n）^n=e

n→∞

在极限lim[1+a(x)]^1/a(x)中，只要a(x)是无穷小，就有lim[1+a(x)]^1/a(x)=e

Answer 3

加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
举一个例子让你明白：
求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；
而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。

Answer 4

当加减可以看成一个整体时是可以用等价无穷小替换的，你上面图片中的最后一步单独拿出来是对的，如果放在不同的题里就要根据我上面说的看一下了。课本上没有说决定不能在加减的时候使用，这点儿在参考书里有提到，张宇十八讲和复习全书都提到了，另外，是x-sinx=1/6 x³

Answer 5

lim (sinx-x)=lim(-1/6 x^3)=0
他们差不是0，只是极限是0，极限可拆分的情况下可以直接当0，不可拆分的话就必须还原成-1/6 x^3