已知函数f(x)在[-1,1]上连续且满足f(x)=3x-√（1-x^2)∫(0...

Question

已知函数f(x)在[-1,1]上连续且满足f(x)=3x-√（1-x^2)∫(0,1)f^2(t)dt,求f(x)

Answer 1

因为f(x)在[-1,1]上连续,则∫（0,1）f^2(t)dt存在,令A=∫（0,1）f^2(t)dt,于是
f(x)=3x-A√(1-X^2)=>f^2(x)=9x^2-6Ax√（1-x^2)+A^2(1-X^2)
又
A=∫(0,1)f^2(t)dt=∫(0,1)f^2(x)dx=∫(0,1)[9-A^2)x^2-6Ax√（1-x^2)+A^2]dx
=[1/3(9-A^2)x^3+A^2x](0,1)+2A(1-x^2)^(3/2)(0,1)=3+2/3A^2-2A
即：
2A^2-9A+9=0=>A=3/2或A=3
故
f(x)=3x-3/2√（1-x^2)或f(x)=3x-3√（1-x^2)
解析来自清华大学出版社高等数学与解析!