高中数学数列里常用的裂项方法

Answer 1

裂项法　　
裂项法求和
　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5）
n·n!=(n+1)!-n!
　　
[例1]
【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
　　解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
　　则
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
　　＝
1-1/(n+1)
　　＝
n/(n+1)
　　
[例2]
【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)
的前n项和.
　　解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
　　则
Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
　　＝
(n-1)n(n+1)/3
　　
小结
：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
　　注意：
余下的项具有如下的特点
　　1余下的项前后的位置前后是对称的。
　　2余下的项前后的正负性是相反的。
　　易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
　　附：数列求和的常用方法：
　　公式法、
裂项相消法
、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
　　1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
　　2、错位相减法求和：如an=n·2^n
　　3、
裂项法求和
：如an=1/n(n+1)
　　4、倒序相加法求和：如an=
n
　　5、求数列的最大、最小项的方法：
　　①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
　　②
(an>0)
如an=
　　③
an=f(n)
研究函数f(n)的增减性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
　　6、在等差数列
中,有关Sn
的最值问题——常用邻项变号法求解：
　　(1)当
a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
　　(2)当
a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
　　在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。