如何用微积分计算旋转体的体积？

Answer 1

绕y轴旋转体积的积分公式：V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。

对x轴求体积是垂直于x轴求面积然后把那一小段的面积作为高，而原先面积的高作为r来求体积，那么对于y轴旋转则是求垂直于y轴每一小段的面积，然后用圆的公式求体积。

相对于x轴旋转时你用dx，相对于y轴旋转时你用dy，函数不变，那么你把y=sinx转成y相对于x的函数是什么？x=sin^-1y，用同样的方式对这个函数求导就可以了。

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

设Δx是曲线y=f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

资料拓展：

一、几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x，y)的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二、数值意义

重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f(x，y)内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

三、平面图形的旋转体的体积是什么

在旋转体中，我们认为平面图形由众多的长方形组成，平面图形的旋转带动了这些长方形的旋转，长方形的旋转就变成了圆柱体。也就是说，我们认为这些图形的旋转体的体积可以由众多的圆柱体的体积之和来近似。这同样是一个和式的极限。