求函数y=x+根号(-x^2+10x-21)的最值

Question

告诉我如何构建几何来解，或用其他方法皆也可。过程

Answer 1

理论上作图法最简单（前提是你会，否则老老实实求导解答或者换算成极坐标解答也可）

易知y>=x

化简不用我说你也会

y^2+2x^2-2xy-10x+21=0

(y-x)^2-(x-5)^2=4

易知这是一个椭圆

中心位于（5，5）

利用矩阵进行坐标旋转,直观表达如下:

x'=xcosA-ysinA

y'=xsinA+ycosA

x=(y'sinA-x'cosA)/[(sinA-cosA)(sinA+cosA)]

y=(y'cosA-x'sinA)/[(sinA-cosA)(sinA+cosA)]

将最后两式带入原式要求xy项系数为零

划出sinAcosA=1/3

x'和y'与x和y具体对应的值

这样可以写出椭圆标准方程

最后用y=x一截就行

最小值在最左端

最大值需要求导一下（个人觉得还是求导方便就是数字有点大，怀疑个事你多大了？这数不好算···今天晚了明天还有事，你自己接着解吧，我看见的时候都打算睡觉了···）

另外我看了你资料，初中生？是我老了不中用了，还是这题是你解了一半，误入歧途，这题拿来大学做高数都很繁琐

Answer 2

(y-x)^2=-x^2+10x-21=-(x-3)(x-7)>=0 =>(x-3)(x-7)<=0 =>3<=x<=7 =>y>=3...(1)
=>y^2-2yx+x^2+x^2-10x+21=0 => 2x^2-2(y+5)x+y^2+21=0 ;x实数
=>[-2(y+5)]^2 - 4*2*(y^2+21)>=0=>(y+5)^2 - 2*(y^2+21)>=0
=>y^2+10y+25-2y^2-42>=0=> -y^2+10y-17>=0=>y^2-10y+17<=0
=>[y -(5+2√2)][y-(5-2√2)]<=0 => 5-2√2<=y<=5+2√2....(2)
再x=3,7求值 y=3;7 ...(3)
=> min=3 ;max=5+2√2

Answer 3

【注：换元法】解：∵-x²+10x-21=4-(x-5)²≥0.===>0≤(x-5)²≤4.∴可设x-5=2cost.(0≤t≤π).∴4-(x-5)²=4-4cos²t=4sin²t.===>y=5+2cost+2sint=5+(2√2)sin[t+(π/4)],由0≤t≤π,===>π/4≤t+(π/4)≤5π/4.===>-√2/2≤sin[t+(π/4)]≤1===>-2≤(2√2)sin[t+(π/4)]≤2√2.===>3≤y≤5+2√2.∴(y)min=3,此时x=3,(y)max=5+2√2.此时x=5+√2.

Answer 4

把Y=X和Y=根号（。。。）分别画出来，判断两个图像增幅比较。
Y=X的导数为1，Y=根号的导数要是小于-1就是减函数，大于1就是增函数。