在三角形ABC中,设sin^2(A/2)+2sin^2(B/2)+sin^2(C/2)=1

Question

在三角形ABC中，设sin^2(A/2)+2sin^2(B/2)+sin^2(C/2)=1 求tan(A/2)*tan(C/2)

Answer 1

解：
半角的正弦公式（降幂扩角公式）
sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2
得：2sin^2(B/2)=1－cosB
sin^2(A/2)+sin^2(C/2)=1-1/2(cosA+cosC)=cosB
cosA+cosC=2(1-cosB)=4sin^2(B/2)……①
在△ABC中,A+B+C=π，于是
B/2=(π-A-C)/2,sinB/2=sin(π-A-C)/2=cos(A+C)/2
而cosA+cosC=2cos(A+C)/2cos(A-C)/2,代入①式化简，可得：
cos(A-C)/2=2cos(A+C)/2
即：
cosA/2cosC/2+sinA/2sinC/2=2cosA/2cosC/2-2sinA/2sinC/2
亦即：
cosA/2cosC/2=3sinA/2sinC/2
故：
tanA/2tanC/2=1/3
附：
在△ABC中，由射影定理得：
a=bcosC+ccosB
c=bcosA+acosB
于是：
a+c=b（cosC+cosA）+（c+a）cosB
(a+c)（1-cosB）=b（cosA+cosC）
故：(cosA+cosC)/(1-cosB)=(a+c)/b
根据以上①式，得：(a+c)/b=2
说明：本题思维可以非常发散，并能够得出许多有益结论：
(1)sinA+sinC=2sinB;
(2)S=0.75b^2*tg(B/2)
(3)各边所对应的高线成调和数列;
(4)三角形三边成等差数列的充要条件为：cosA+2cosB+cosC=2（由①式可推出）
另外，查阅三角形三边成等差数列的若干特征性质，希望能够得到更多帮助。